让学生聪明起来
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数学素养是现代社会每一位公民应该具备的基本素养，数学教育在培养人的理性思维和创新能力方面起着不可替代的作用.数学教学要让学生聪明起来，这就是数学教育价值根本之所在！“问题是数学的心脏”，解题方法自然非常重要，下面就解题方法论学生思维的“灵”与“韧”.
解题方法一般分为通法与巧法，通法着眼基础，巧法着眼提高.对学生来说，前者是雪中送炭，后者是锦上添花[1]. 学生思维的“韧”与“灵”一般对应解题的通法与巧法.在目前的数学解题教学中，大多师生对通性、通法推崇有加，而对特技巧法敬而远之，甚至谈“巧”色变，久而久之，我们的学生习惯于套用解题的固有套路与程式死算硬推，思维毫无创新成分，“韧”性有余而“灵”性不足.这就违背了数学教育的根本价值.作为数学教师，在解题教学中我们既要着眼基础，守住通法、雪中送炭、锤炼学生思维之“韧”，更要适当提高、催生巧法、锦上添花、激发学生思维之“灵”，让学生越来越聪明.
一、 利用通法解题，以不变应万变，如山之稳重，是谓“笨”聪明
通法是指一类问题的普通的一般解法. 如等差、等比数列中的基本量法；复数中设复数的代数形式，利用复数相等的充要条件的待定系数法；解析几何中直线与圆锥曲线方程联立得到一元二次方程，在判别式大于零的前提下，应用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式等设而不求的方法都是解决一类问题的通性、通法.这种方法常以基础知识为依托、以基本方法为技能.它的解法思想顺乎一般思维规律.通法自然、流畅、易于理解、易于掌握和运用.其思维方式本质上是定势思维.按照一定的思维套路走下去，经过艰辛的努力并且持之以恒，一般问题都可以解决.它不需要高层次的思维，有利于锤炼学生思维的“韧”性， 有利于挫折教育.以不变应万变，如稳重之山，管它风吹雨打！这种“笨”聪明就是聪明！
二、利用巧法解题，思维敏捷灵活，如水之灵动，是谓“灵”聪明
巧法是针对题目个性特点的灵活而巧妙的解法.巧、 新、奇、妙是它的一般特点，这种解法很好地体现了思维敏睿性和较高的创新能力.
三、巧法变成通法，通法、巧法相对看，如楼外之楼，是谓更聪明
波利亚说过：“ 用过两遍的技巧， 就是方法.”鲁迅也说过：“其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路.”熟能生巧，通法与巧法是相对的.如上述例1利用等比数列的性质的所谓的“小题小做”的巧法，对初学者来说是巧法，但对于优等生或高三的学生来说就是通法，因为他们运用性质解决这类问题已经司空见惯了.解析几何中研究直线与圆的位置关系，不再用联立直线与圆的方程这一直线与圆锥曲线问题的研究通法，改用圆心到直线的距离与圆的半径比较大小的巧法；直线截圆所得弦长也不用弦长公式的通法，而是改用截圆的特征直角三角形的巧法，但是现在看来，解决圆的这样两个问题的方法还能称得上巧法吗？就是有关圆的问题的通法，这里巧法变成了通法. 是我们认识的进步，更是思维层次的提升，这一过程如楼外之楼，使得我们更聪明.
四、“通”“巧”结合，“韧”“灵”并举，似如来之手，是谓大聪明
通法自然、流畅、易于理解、易于掌握和运用，适于大多数中、下学生；巧法思维层次要求高，适于优等学生.在解题数学中要坚持一切从实际出发， 坚持因材施教的原则，在不同的阶段用不同的方法，使不同层次的学生在不同的阶段学到不同层次的通法和巧法.对中、下学生都是一味的通法教学，他们只会拘泥于固有的套路和程式，不敢越雷池半步，思维永远没有灵光；同样对优等生一味的巧法教学，眼高手低，往往会陷于对通法不屑一顾而巧法又一时想不起的尴尬境界.
通法是巧法的基础，巧法是通法的升华.过分强调通法会影响发散思维和创造性思维的培养，而过于注重巧法也会导致缺乏对基本思想、方法的挖掘和相应的训练，从而冲淡和掩盖了对基本思想方法的渗透，同时又与挫折教育不相符[3].所以我们要“通”“巧”结合，“韧”“灵”并举，这是谓大聪明！教师的解题教学要如同如来佛祖之手掌控自如，对哪些学生，在什么阶段，讲哪种方法要了然于心，尽可能地发挥“通”“巧”结合，“韧”“灵”并举的最大效力！如例1的“小题大做”的通法对中、下学生较为适合，或者在初学数列的阶段较为适合.“小题小做”及“小题巧做”的巧法对优等学生较为适合，或者在数列的复习阶段较为适合.
例3 如图1，已知C∶（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）与C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM・AN是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
上述解析中，解析1是通法.要判断AM・AN是否为定值，就要看AM・AN怎么来的，显然AM可用勾股定理解决，而要求AN，就要看N点的来历，是由直线与直线相交得来.这样顺藤摸瓜，搞清点与直线的来龙去脉，问题就得以解决.顺藤摸瓜的思想方法就是解析几何中直线与曲线相关问题的通性通法，易于理解掌握，只是计算量偏大，但是只要我们坚持“社会主义”正确方向不动摇，前途一定是光明的！尽管道路可能曲折.我们坚信经过艰辛的努力，有一股韧劲，持之以恒，一定能获得成功！这正是通法的教育价值之所在.
解析3是妙法，这种解法发现直线BC与直线l2垂直，CMPQ，充分利用这两个垂直，由三角形相似解决.可谓妙法，妙就妙在这种解法牢牢地抓住了本题的个性特点，妙到命题者也不情愿看到这种解法，因为它违背了命题者的初衷.我们认为这种解法对其他题目没有太大的参考价值，只是欣赏而已，不值得提倡.
总而言之，数学解题教学要注重基础，守住通法，如山之稳重；在此基础之上，更要催生巧法，如水之灵动.脱离通法的巧法是空中楼阁，没有根基；不谈巧法的通法是死山一座，毫无生机！青山爱拂碧水，碧水滋润青山，碧水围着青山转是我们数学人追求的理想境界.要解决温饱，更要奔赴小康；要雪中送炭，更要锦上添花.让我们在尊重通性通法的基础上，提升学生思维品质，催生灵性巧法，让学生聪明起来.
参考文献：
[1][3] 谢全苗.数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”[J]. 数学通报，2001（6）：34.
[2]苏教版高中数学教材编写组. 数学选修2-2：普通高中课程标准实验教科书[M]. 第3版.南京：江苏教育出版社，2012：124.