一道高考题的解法探究
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇一道高考题的解法探究范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
题目 （2011年浙江卷）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值
是[CD#3].
一、基本不等式法
解 令S=2x+y，则
S2=[SX（]（2x+y）2[]1[SX）]
=[SX（]4x2+4xy+y2[]rx2+xy+y2[SX）]
=1+[SX（]3xy[]4x2+xy+y2[SX）]
=1+[SX（]3[][SX（]4x[]y[SX）]+[SX（]y[]x[SX）]+1[SX）]
≤1+[SX（]3[]2[KF（][SX（]4x[]y[SX）]・[SX（]y[]x[SX）][KF）]+1[SX）]
=[SX（]8[]5[SX）]，
当且仅当[SX（]4x[]y[SX）]=[SX（]8[]5[SX）]，
即4x2=y2时等号成立，
此时Smax=[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）].
点评 本题通过构造二次分式型函数模型，并注意1的整体代换，利用基本不
等式求解.
二、判别式法
解 设2x+y=t，则y=t―2x，
代入4x2+y2+xy=1中，
得6x2―3tx+t2―1=0.
将它看作一个关于x的二次方程，
由x是实数，知
Δ=（3t）2―4×6×（t2―1）≥0，
解得―[SX（]2[]5[SX）][KF（]10[KF）]≤t≤[SX（]2[]5[SX）][KF（]10[KF）].
因此2x+y的最大值为tmax=[SX（]2[]5[SX）][KF（]10[KF）].
点评 考虑到题目的结构特征，将2x+y视为一个整体并引入参数t，进而通过
消元把问题转化为二次方程有实数根的问题.
三、配方法
解 由已知条件得
（2x+y）2=1+3xy
=1+[SX（]3[]2[SX）]×（2x）×y
≤1+[SX（]3[]2[SX）]（[SX（]2x+y[]2[SX）]）2，
即（2x+y）2≤[SX（]8[]5[SX）]，
故当x=[SX（]1[][KF（]10[KF）][SX）]，y=[SX（]2[][KF（]10[KF）][SX）]时，
2x+y的最大值是[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）].
另解 由1=4x2+y2+xy
=（2x+y）2―[SX（]3[]2[SX）]（2x）×y
≥（2x+y）2―[SX（]3[]2[SX）]（[SX（]2x+y[]2[SX）]）2，
解得2x+y的最大值为[SX（]2[]5[SX）][KF（]10[KF）]（利用不等式）.
点评 本题解法关键是配方，然后根据结构特征运用基本不等式转化为解不
等式问题，此法不仅简捷明快，而且锻炼了学生的解题思路.
四、三角换元法
解 1=42+y2+xy
=（2x+[SX（]y[]4[SX）]）2+[SX（]15[]16[SX）]y2，
设2x+[SX（]y[]4[SX）]=cosθ，
[SX（][KF（]15[KF）][]4[SX）]y=sinθ，
则2x=cosθ―[SX（]1[][KF（]15[KF）][SX）]sinθ，
y=[SX（]4[][KF（]15[KF）][SX）]sinθ.
所以2x+y=cosθ+[SX（]3[][KF（]15[KF）][SX）]sinθ
=[SX（][KF（]8[KF）][][KF（]5[KF）][SX）]sin（θ+φ）
（其中tanφ=[SX（][KF（]15[KF）][]3[SX）]）
=[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）]sin（θ+φ）
≤[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）]，
所以2x+y的最大值是[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）].
点评 解答本题第一步配方很关键，接下来根须据结构特征采用三角换元顺
利地将问题转化为三角函数问题来解决.
五、极坐标法
解 将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入4x2+y2+xy=1中，化简得
ρ2=[SX（]2[]5+3cos2θ+sin2θ[SX）].
设ω=2x+y，则
ω2=（2x+y）2
=[SX（]1[]2[SX）]ρ2（5+3cos2θ+4sin2θ）
=[SX（]5+3cos2θ+4sin2θ[]5+3cos2θ+sin2θ[SX）].
令tanθ=t，那么ω2=[SX（]t2+4t+4[]t2+t+4[SX）]，
即（ω2―1）t2+（ω2―4）t+4ω2―4=0.
若ω2=1，则t=0，符合条件；
若ω2―1≠0，则由
Δ=（ω2―4）2―16（ω2―1）2≥0，
解得―[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）]≤ω≤[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）].
综上可知（2x+y）max=[SX（]2[KF（]10[KF）][]5[SX）].
点评 此题的解法很多，但用极坐标法求解别致新颖，
应该是最简洁而优美的方法.
该题的5种解法，以数学思想方法引领，从不同的角度切入，应用不同的数学知识，呈现不
同的精彩，给人以美的享受.为此，笔者建议，加强高考题解法的研究，很有必要.
练习题
1.（1993年全国高中联赛题）若x，y∈[WTHZ]R[WTBX]，且有4x2―5xy+4y2=5，记s=x2+y
2.求[SX（]1[]smax[SX）]+[SX（]1[]smin[SX）]的值.（提示：将 代人 中，化简得 由此可知，当 时， 有最小值为 而 ，所以 故 此法为极坐
标法）.
2.（1997年莫斯科大学化学系入学试题）已知x2―xy+2y2=1，求表达式x2+2y2的最大
值与最小值.（提示： 设 则 所以 中 其中 故所求最大值是 ，最小值是 .此法
为三角换元法.）
3.（2006年安徽高中数学竞赛初赛题）设x，y∈[WTHZ]R[WTBX]，且x2+xy+y2=3，求x2―x
y+y2的最大值与最小值.（提示： 设
则 所以 当且仅当 时，S取最小值1；当且仅当 时，S取最大值9，此法为三角换元法.）
答案 1.[SX（]10[]13[SX）] 2.[SX（]8+2[KF（]2[KF）][]7[SX）]，[SX（]8―2[K
F（]2[KF）][]7[SX）]
3.9，1
【作者单位：（225500）江苏省姜堰市第二中学】