如何求向量的模

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向量是一种有效的运算工具,随着新教材的逐步推广,向量将逐渐成为高考的一个命题热点?郾 而向量的模是研究向量的一个重要方面,下面着重介绍计算向量的模的常见方法,供同学们参考?郾

一、利用向量的数量积运算和性质求模

例1 (2009年全国卷Ⅱ文科)已知向量a=(2,1), a・b=10,|a+b|=5■,则|b|=()

A?郾 ■?摇?摇 B. ■?摇

C. 5?摇 D. 25

解析 本题考查平面向量数量积的运算和性质. 由|a+b|=5■知(a+b)2=a2+b2+2a・b=50, 且a・b=10, |a|=■=■, 可求得b2=25, |b|=5?郾 故选C?郾

点评 本题要求向量b的模,可以利用向量的数量积运算和性质求解?郾

二、利用分类讨论思想求模

例2 已知向量a,b的模分别是|a|=4,|b|=6,求|a+b|的最大值和最小值.

解析 向量a,b的模已确定,但方向不定,因此应分情况讨论a,b的方向. 令■=a,■=b,则■=a+b.

(1) 当a,b不共线时,由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得|■|-|■|

(2) 当向量a,b共线时,要分同向与反向两种情况.

若向量a,b同向,则|■|=|■|+|■|=4+6=10,即|a+b|=10.

若向量a,b方向相反,则|■|=|■|-|■|=6-4=2,即|a+b|=2.

综上可知:|a+b|的最大值为10,最小值为2.

点评 平面向量问题中含有向量方向相同、相反及不共线的问题,遇到这类问题,不可忽视利用分类讨论解题的思想.

三、利用数形结合思想求模

例3 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|?郾

解析 利用向量的几何表示,构造图形,利用图形中线段的长度求解?郾

如图1,设■=a,■=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则■=a+b,■=a-b.

|a+b|=|a-b|, |■|=|■|,

四边形ABCD为矩形,故ADAB.

在RtDAB中,|a|=6,|b|=8,由勾股定理得|■|=■=■=10.

故?摇|a-b|=|a+b|=10?郾

点评 本题根据向量的几何表示及向量的线性运算,把向量的模转化为图形中线段的长度,利用勾股定理求解?郾

四、利用方程思想求模

例4 若向量a和b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)・(a-3b)=-72,求向量a的模?郾

解析 根据条件构造|a|的方程,通过解方程求向量a的模?郾

(a+2b)・(a-3b)=-72,

a2+2a・b-3a・b-6b2=-72,即|a|2-a・b-6|b|2+72=0?郾

又 向量a和b的夹角为60°,|b|=4,

|a|2-4|a|cos60°-6×42+72=0,即|a|2-2|a|-24=0,解得|a|=6或|a|=-4?郾

又 |a|≥0, 取|a|=6?郾

点评 本题中利用题设条件,通过化简构造|a|的方程,则方程的根等于向量的模?郾

五、利用向量的坐标运算求模

例5 如图2所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),设AC与OB的交点为P,求向量■的模?郾

解析 可以根据A、P、C三点共线,O、P、B三点共线,从而由向量共线和方程的思想,求出点P的坐标,再利用坐标运算求模?郾

设P点的坐标为(x,y),则■=(x,y),

■=(4,4),且■与■共线, 4x-4y=0.……①

又■=(x-4,y),■=(2-4,6-0)=(-2,6),且■与■共线,

6(x-4)-(-2)y=0,即3x+y=12.……②

由①②解得x=3,y=3,即点P的坐标为(3,3).

故向量■的模|■|=3■?郾

点评 充分利用向量共线的条件,将坐标向量转化为向量共线的坐标方程问题,利用向量的坐标运算求模,使问题得到解决?郾