把握核心概念提高解题能力

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三角函数是刻画客观世界变化规律的基本数学模型，它的周期性能够有效地刻画变化规律.三角函数性质丰富，除具有一般函数的各种性质外，还具有对称性、周期性及有界性等.在各类考试中，由于三角函数容易与其他知识板块结合，使问题在表现形式上变化多端.同时，由于三角函数是高中数学的主干知识之一，也是高等数学的重要基础.所以，在高考中占有重要地位，是高考的重点和热点.

近几年全国各省市高考试题中，有关三角函数的内容平均有20多分，约占总分的15%.试题包括一道考查基础知识的选择题或填空题和一道考查综合能力的解答题.解答题多考查三角化简和三角函数性质中的单调性、周期性、最值等问题.本文着重分析高考题和模拟题中有关三角函数的各类解答题，主要剖析命题切入点，围绕解三角函数解答题的方法思路，总结一些规律，供读者参考.

一、重视对三角函数定义的考查

例1如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.

（Ⅰ）若点A的横坐标是35，点B的纵坐标是1213，求sin(α+β)的值；

（Ⅱ）若|AB|=32，求OA・OB的值.

【分析】本题第（Ⅰ）问直接考查三角函数的定义，根据定义求得α，β的正弦、余弦值.之后通过两角和的正弦公式展开，代入就可以求出结果.而第（Ⅱ）问求OA・OB的值的时候，除了下面解析中的定义法以外，也可以通过余弦定理求解.

【解】（Ⅰ）根据三角函数的定义知，

cosα=35，sinβ=1213.

α的终边在第一象限，sinα=45.

β的终边在第二象限，cosβ=-513.

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

=45×(-513)+35×1213=1665.

（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，

|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA・OB

=2-2OA・OB，2-2OA・OB=94，

OA・OB=-18.

【点评】三角函数定义对学生而言既熟悉又陌生，熟悉是因为有锐角三角函数定义的基础，理解不难；陌生是因为学过以后用得比较少，见面次数少了自然陌生.本题应用三角函数定义容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生从解三角形入手，则会使本题变难，从而走不少弯路.

二、三角求值注意角的范围限制

例2（2013年湖南卷）已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；

（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

【分析】本题主要考查简单三角求值以及三角不等式求解，求解此题的关键是利用好降幂公式、辅助角公式等，对已知函数关系式进行先化简，之后再根据三角函数图象或三角函数线的变化趋势去求解.

【解】（Ⅰ）因为f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，

所以f(α)=3sinα=335，

从而sinα=35，α∈(0，π2).

因为sin2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.

（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32・sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.

【点评】本题不难，但是考生在由sinα=35求得cosα=45时，千万要注意α∈(0，π2)，否则余弦应该有正、负两个取值了.此外，就是三角函数的相关公式必须熟练掌握.

三、辅助角公式要灵活应用

例3（2013年天津卷）已知函数f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求f(x)在区间［0，π2］上的最大值和最小值.

【分析】本题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及辅助角公式.还包括三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，需要考生熟练掌握相关公式和基本的运算求解能力.

【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x・cosπ4-2cos2x・sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).

所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）因为x∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，则sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，当2x-π4=π2，即x=3π8时，f(x)的最大值为22；当2x-π4=-π4，即x=0时，f(x)的最小值为-2.

【点评】所谓辅助角公式，其实就是两角和与差的正、余弦公式的逆用.显而易见，逆用公式比正用公式在理解上有困难，所以建议读者在做这类题的时候，不要怕麻烦，要尽量将步骤写全.如本题化简过程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x・cosπ4-cos2x・sinπ4)=22sin(2x-π4).这样，化简自然不会失分.

四、会用换元法求二次函数型最值

例4已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

（Ⅰ）求f(π3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.

【分析】本题利用换元思想，引入参数，利用一元二次函数性质，根据一元二次函数的图象，即可求得f(x)的最值.

【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.

（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.

因为cosx∈［-1，1］，所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=23时，f(x)取最小值-73.

【点评】其实，比如求函数f(x)=sinx・cosx+sinx+cosx的值域，我们也可以用换元法，求二次函数值域得结论.令sinx+cosx=t，则sinx・cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在换元的过程中，千万注意变量的取值范围在变化前后的等价性，本例中就是t∈［-2，2］.

五、图象问题考查形式多样

例5（2013年上海卷）已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0.

（Ⅰ）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；

（Ⅱ）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，对任意的a∈R，求y=g(x)在区间［a,a+10π］上零点个数的所有可能值.

【分析】本题第（Ⅰ）问判断函数的奇偶性，考生习惯上马上入手判定F(x)与F(-x)以及-F(x)的关系.但是，当说明一个函数既不是奇函数也不是偶函数的时候，我们只需要有一个反例就够了.而第（Ⅱ）问考查函数图象的平移伸缩变化，是考生极易出错的地方，主要原因是没有抓住关键――不论平移与伸缩顺序如何，想要判断水平方向平移的单位数，关键是看自变量x的变化，当自变量由x变化到x+φ，函数图象向左（φ>0）或向右（φ

【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)

=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).

F（-π4）=0,F（π4）=22,

F（-π4）≠F（π4），F（-π4）≠-F（π4）.

函数f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函数也不是偶函数.

（Ⅱ）当ω=2时，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，

2x+π3=kπ-(-1)k・π6，k∈Z，

即x=kπ2-(-1)k・π12-π6，k∈Z.

区间［a,a+10π］的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其他区间仍是2个零点.故当a=kπ2-(-1)k・π12-π6,k∈Z时，21个，否则20个.

【点评】函数图象问题包括图象变换（通常以选择题形式出现），上述试题是一个很不错的例子，通过函数图象的平移、伸缩变换求函数解析式.

六、与向量结合问题常考常新

例6（2013年辽宁卷）设向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.

（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；

（Ⅱ）设函数f（x）=a・b，求f（x）的最大值.

【分析】本题注意到向量的坐标表示，解决起来不是很困难.但是在考试的时候，考生容易忘记数量积a・b的坐标表示，而只是记得定义a・b=|a|・|b|・cosθ，从而使得本题第（Ⅱ）问解决起来比较困难.

【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.

又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，从而sinx=12，所以x=π6.

（Ⅱ）f（x）=a・b=3sinx・cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，则当x=π3时，sin(2x-π6)有最大值为1，所以f（x）的最大值为32.

【点评】向量与三角函数等代数知识相结合考查是近年高考的热点题型，其主要特点是用向量的形式给出条件，然后要求解决有关函数、三角、数列等问题.在解题时，有两方面可以考虑，一是把向量问题转化为代数问题，然后由代数知识解题；二是构造适当的向量，使问题目标向量化，然后通过向量运算来解题.

七、解三角形问题要注意挖掘隐含条件

例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)・cosB=0.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围.

【分析】本题注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用两角和的余弦公式展开，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）问求b的取值范围，则需要注意到余弦定理的选择，以及通过二次函数求b2的取值范围，从而求出b的取值范围.注意，如果只是求b的最小值，还可以选择均值定理.

【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，

即有sinAsinB-3sinAcosB=0.

因为sinA≠0，所以sinB-3cosB=0.

又cosB≠0，所以tanB=3.

又0

（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因为a+c=1，cosB=12，

有b2=3(a-12)2+14.又0

【点评】三角形中的三角函数关系是历年高考重点考查的内容，以三角形为主要依托，以正、余弦定理为知识框架，结合三角函数、平面向量等内容进行综合考查.在三角形中，正、余弦定理将边和角有机地结合起来，实现了边角互化，从而使三角函数与几何建立了联系，为解三角形提供了理论依据.

八、与导数结合问题新颖

例8（2013年北京卷）已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；

（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围.

【分析】本题第（Ⅰ）问考查直线与曲线相切的问题，只要注意相切的本质――切点处曲线的斜率等于切线的斜率以及切点既在直线上也在曲线上，就可以求出a与b的值.本题第（Ⅱ）问设置得简单大气，但是对考生数学思维能力要求非常高.大多数考生判断出来函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，且f(0)=1.于是马上下结论：若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，则必须b>1.但是，却因没有说明当x+∞时，f(x)+∞的，不能得满分.

【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得

f′(x)=x(2+cosx).

(Ⅰ)因为曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.

（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.

当x变化时，f(x)与f′(x)的情况如下：

x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时，曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点；当b>1时，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1

所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.

由于函数f(x)在区间(-∞，0)和(0，+∞)上均单调，所以，当b>1时，曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点.

综上可知，如果曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，+∞).

【点评】本题问题非常常规，考查的知识点考生也不陌生.唯一让考生感觉不太顺手的地方就是通过三角函数包装了导数问题，在以前基本是通过幂函数、指数函数、对数函数来包装，所以这里让考生感觉有些困难.但是三角函数作为常见基本初等函数，出现在导数问题中，应该是顺理成章，因此在平时训练时，不妨也多找几个同类型的问题进行全方位归纳总结.