不等式(组)的巧用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇不等式(组)的巧用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：自然界中绝对的相等时不存在的，相等与不等是相对的。那么在中学数学中为什么关于“相等”的问题学的很多，而关于“不等”的内容介绍的很少呢？这是由学生的认识水平决定的。为此适当引进不等式的实际应用就显得尤为重要。

关键词：不等式；整数解；实际应用

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）05-042-01

不等式是数学教学中十分重要的内容，在新的课程标准中已明确提出具体目标要求：1、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并会探索不等式的基本性质。2、会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示他的解集。3、能够根据实际具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），利用它的特殊解解决简单的实际问题。其中第三个目标，就是应用所学的不等式（组）的知识来分析和解决实际问题的要求。

一、比较明显的可以应用不等式（组）来解决问题

例1：在一次“人与自然”的知识竞赛中，竞赛试题共有25道题，每一题都给出四个答案，其中只有一个答案正确，要求学生吧正确的答案选出来，每道题选对得四分，选错或不选的扣2分。如果一个学生在本次竞赛中得的分数不低于60分，那么他至少得选对多少道题？

分析：根据题意发现明显有提示的字眼：“不低于”，可列出不等式。

略解：设选对的题数是x道，则选错或不选的题数是（25-x）道，由题意可得：4x-2(25-x)≥60,

解之得：x≥110/6.又x只能取整数

所以至少选对19道题。

分析：上题有较为明显的提示字眼“不低于”，因此比较容易想到利用不等式来解决。

二、不明显的应用不等式（组）来解决问题

有时用不等式的字眼不明显，比较隐蔽，需要认真挖掘隐含的实际意义，才能列出不等式（组）。

例2：某化工厂有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产产品共50件。已知生产一种A型产品，需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一种B型产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。

1、按要求安排A、B两种型号产品的生产件数，有几种生产方案？请你设计出来。2、设生产A、B两种型号产品总获利为y(元)，其中一种的生产件数为x件，试列出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案所获利润最大？最大利润是多少？

分析：此题从文字意义上找不到明显的列不等式（组）的语句，最易列出方程。但从实际意义上考虑：生产50件产品不容许把原料全部用完（用不完更好），隐含着利用不等式（组）来解决问题。

解;1、设生产A种型号产品x件，则生产B种型号产品（50-x）件，由题意可得：

不等式组： 9x+4(50-x)≤360 ①

3x+10(50-x)≤290②

解之得：30≤x≤32

x只能取整数该不等式组的整数解为30、31、32.

即生产方案共有三种：

方案1、生产A种型号产品30件，B种型号产品20件；

方案2、生产A种型号产品31件，B种型号产品19件；

方案3、生产A种型号产品32件，B种型号产品18件。

2、设生产A种型号产品的件数为x件，则生产B种型号产品（50-x）件，由题意可得：

利润y=700x+1200(50-x)=-500x+60000

又-500

当x=30时，y的值最大。

即：按照第一种生产方案来安排生产，总获利最大，最大利润是：-500*30+60000=45000（元）

评析：本题的难点在于文字长、数据多、结论不唯一，具有一定的探索性，且贴近生活，综合了不等式（组）、函数等知识与方法，但学生容易犯以下三种错误：

1、列出方程9x+4（50-x）=360和3x+10（50-x）=290,

解出x=32和x=30，不知道该如何回答后面的问题。 2、列出方程9x+4（50-x）+3x+10（50-x）=290+360,解出x=20. 3、9x+4（50-x）+3x+10（50-x）≤360+290，解出x≥20,后面的问题也是同样不知如何回答。

三、间接应用不等式解决问题

例3：某单位计划10月份组织员工到A地旅游，人数估计在10到25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到A地的价格都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠。问该单位应该怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？

分析：怎样选择旅行社，实质上就是对两个旅行社的费用进行比较，即：间接利用不等式来解决问题。

解：设该单位到A地旅游的人数为x人，选择甲旅行社的费用为y1元，选择乙旅行社的费用为y2元。由题意可得：

y1=200*0.75x=150x，

y2=200*0.8（x-1）=160x-160.

1、若y1=y2，解得：x=16；2、若y116；3、若y1>y2，解得x

所以：当人数为16人时，选择甲或乙旅行社支付的费用一样；当人数为17-25人之间时，选择甲旅行社的总费用比较少；当人数为10-15人之间时，选择乙旅行社的总费用比较少。

综上所述，可以看出在应用不等式（组）解决问题时，有时有明显提示有时则没有，这就需要我们在数学教学中教会学生如何研读，找出条件所在，列出不等式（组）求解问题。