数学教学中“类比法”的运用

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在数学教学过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到某种类似的成分。如果我们把这些类似进行比较并加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法。这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象性质的方法就是类比法。

在数学教学中，根据教材特点运用类比的方法，既可以提高课堂教学的效果，又有助于培养学生类比的能力。

一、分式与分数的类比

首先，要用与分数类比的方法导出分式概念、分式基本性质与分式的四则运算法则。一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零。为什么分母不能为零呢？因为零不能做除数，如果分子等于零，只要分母不是零，这个分数的值就是零。再把分数的概念引申到代数式来，发现分式由分子、分母与分数线构成，分母中含有字母，这样就很自然地引入了分式的概念，接着指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在讲分式的基本性质时，先通过复习分数的基本性质来进行推想。我们回忆如何做不同分母分数的加法，是先将异分母化为同分母，这是根据什么呢？根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，分式应该有 ，这里A、B、M是整式，根据分式的概念要求，由分数的基本性质应该想到。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。此外，当一个分数的分子分母有公因数时，我们就可以利用分数的基本性质，将分数中分子分母中的公因数约去，从而成为最简分数。同理，由于分式也具有与分数相似的基本性质，所以我们也可以根据分式的基本性质将分式中分子分母中的公因式约去，化成最简分式。（这个概念可由学生总结出）

第三，两个分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母；两个分式相乘时，也应该分子乘分子，分母乘分母，除去一个分数等于乘以这个分数的倒数。同理，除以一个分式时，也应乘以这个分式的倒数。两个同分母分数相加减时，分母不变，分子相加减；同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减时，要先进行通分，化成同分母分数后再加减；异分母分式相加减时，也要先进行通分，化成同分母分式，然后再加减。分数通分时，要先找各分母的最小公倍数，分式通分时，也要先找分母的最简公分母。在解整式方程式时（特别是含有分母时），一般要先经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的过程，那么在解分式方程式，也要用以上方法去解。

二、实数和代数式的类比

首先是分类的类比，实数分成有理数和无理数，有理数分成整数和分数，整数分成正整数、零和负整数；代数式分成有理式和无理式，有理式分成整式和分式，整式分成单项式和多项式。其次是实数与整式在各自的运算律以及添括号、去括号法则等都是可以类比的，特别是在有理数乘法分配律中。当a(b+c)=ab+ac，a、b、c都换成单项式时，即可得出单项式乘以多项式的法则；当(a+b)÷c=(a+b)/c=a/c+b/c=a÷c+b÷c，其中的a、b、c都换成单项式时，即可以得出多项式除以单项式的法则；当(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中的a、b、c、d代表单项式或多项式，即可以表示多项式乘以多项式的法则。

三、等式和不等式的类比

在讲解等式和不等式时，可以根据天平的功能类比出等式和不等式的性质。

天平的杠杆相当于等号和不等号，天平的左盘和右盘相当于等式和不等式的左边和右边。当天平的两边分别增加和减少相同的质量时，天平仍然平衡，即给等式两边同时加上或减去一个相同的数或代数式时，等式仍然成立。当给天平的两端同时扩大或缩小相同的量时，天平两端仍然平衡，即给等式的两边同时乘以或除以一个相同的数时，等式仍然成立。

当天平倾斜时，给天平的两端同时加上或减去一个相同的量时，天平的倾斜方向不变，即不等式具有性质1。当天平的两端同时扩大或缩小相同的数时，天平的倾斜方向仍不变，即不等式具有性质2（对于负数另外考虑）。

四、一元一次方程和一元一次不等式的类比

首先，我们可以根据一元一次方程的概念类比推出一元一次不等式的概念，明确它们之间的相同点和不同点。其次，由于等式具有基本性质1，所以我们解方程时可以移项。同理，由于不等式也具有与等式一样的基本性质1，所以在解不等式时，也可以移项。解法的一般步骤中前几步都是一样的，去分母、去括号、移项、合并同类项，包括最后一步的名称都是一样的：系数化为1 ，只不过由于等式和不等式在性质上的一个差别：两边除以同一个负数时，等式不变，而不等式的符号就要改变方向，才导致方程和不等式在最后一步上的不同。我们在教学中牢牢抓住这个不同，对学生进行强化，就会帮助学生正确掌握一元一次不等式的解法。同样，在解方程组时，是求方程组中几个方程的公共解，在解不等式组时，也是求不等式组内几个不等式的公共解，这也是可以进行类比的地方。

五、相似三角形与全等三角形的类比

相似三角形与全等三角形判断方法有联系。在相似与全等三角形的判定中，有关角的条件都是对应角相等，有关边的条件，全等三角形中是对应边相等，而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的对应边相等改为对应边成比例，就相应得到相似三角形的判定方法。全等三角形必须有一组对应边相等，而判定相似三角形时，可舍去此条件。

概念的区别。全等三角形是能够完全重合的三角形。包括形状相同，大小也相同两个方面；相似三角形只是形状相同而大小不一定相同。即只是对应角相等，而对应边成比例，当对应边的比值等于1时，就全等，因此全等三角形是相似三角形的特例。掌握它们之间的联系与区别，问题就迎刃而解。

因此，类比联想在解决问题中有着广泛的作用，同样在数学教学中采用类比教学可以梳理知识、归纳题型、总结解题方法，既利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生联想思维的灵活性。在课堂上，运用类比教学，可以节省大量的时间，鲜明地区分两个相似知识的异同，更加有利于学生的数学学习，我将在实践中更加合理地加以运用和提高。