新加坡与中国数学课标关于函数内容的比较研究

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新加坡的课程纲要最早于1957年,在此之前,都采用国外的纲要.从1959年至今,国家每10年会对纲要进行一次大的修订.新加坡教育部最近的改革开始于1997年,此次改革不仅仅局限于中学教学阶段,而是涵盖了从小学开始到上大学前的整个学校教育阶段.2004年新加坡制定了新的数学课程纲要,2007年开始实施[1].可以看到,无论是过去还是现在,新加坡的数学教育发展与中国极为相似,中国也于2000年开始建设面向21世纪的数学课程实验,于2004年正式全面实行.这种教育背景的相似性给中国和新加坡之间数学教育的比较提供了可能性,同时也保证了对新加坡数学教育的研究能够给予中国良好的借鉴意义.

具体来看,新加坡的中学课程是四年制的,大部分学生学完课程后,就会参加O Level等级考试,通过者有资格进入大学前课程,继续学习,所以O Level等级考试就像我国的初中升中试.为了与O Level等级考试相一致,新加坡制定了O Level教学大纲,包括O Level和O AdditionLevel两部分,其地位等同于我国义务教育阶段数学课程标准7―年段部分.

基于此,本文将通过比较新加坡的中学数学课程大纲(O Level教学大纲)(简称《大纲》)和中国的义务教育阶段数学课程标准(《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》)(简称《课标》),探讨两国在中学教育阶段函数部分内容标准的异同点,以期得到一些领悟.

1 教学内容“大同小异”

《课标》和《大纲》中指定的函数教学涵盖的内容大致相同,都有函数的基本知识、一次函数、二次函数和反比例函数.存在的差异在于新加坡较早的将在中国高中阶段才学习的幂函数和指数函数加入了三年级的函数学习内容里,将反比例函数视为幂函数的一种特殊情况.而中国是将反比例函数独立出来,与一次函数和二次函数处于同等的教学地位.除此之外,在“函数的基本知识”这一块教学内容里面,中国是通过探索具体问题中的变化规律来理解函数概念,并讲解了函数的三种表示方法以及取值范围、函数值等问题.这些都作为具体的教学要求被一条条的罗列在《课标》里.可是新加坡对这一部分内容的处理比较简单,并没有具体问题作为函数背景,而是直接从二维直角坐标系入手,讲解有序点的图像,然后就进入线性函数的内容.虽然不清楚新加坡具体的教学安排,但在新加坡的《大纲》中对于中国《课标》所涉及的有关函数表示方法、取值范围等内容并没有进行说明,而是从更为直观的方式,例如点的图像,进入基本函数的学习内容.

从中可以看到,新加坡对于一些抽象的教学内容,如函数,往往在概念理解上不做太多要求,而更侧重于实际应用、实际操作上,并且希望以一种更为直观的方式呈现给第一次接触这种内容的学生.中国在这方面则注重对概念的理解,强调从具体到抽象的发展过程,注重让学生体验这一过程,并着眼于使学生对知识有一种全面地认识.

2 教学安排有差别

新加坡一年级有一次函数的内容,二年级也有;二年级学的二次函数,到了三年级也有,而且内容是不断深化,形成了一种螺旋式上升的安排方法.中国在教学安排上是二年级学习一次函数、反比例函数,三年级再学次函数,不同的函数内容不会存在新加坡一样的跨年级的现象.

实际上,这两种安排各有其特点.

螺旋式安排是布鲁纳所提出来的,目的就是为了照顾儿童认知水平.同时,内容由浅入深,螺旋上升,有利于知识的再现、记忆、加深和活用,符合个人的认识规律.这种安排充分体现了对学生认知发展过程的关注.[2]

另一方面,中国这种类似于分模块的安排则保证了一个学习内容的完整性,帮助学生建立整体观念.同时,一次函数先学,二次函数后学,也是因为后者比前者更为抽象,更难以理解,将二次函数放在后面学也是适应了学生认识发展规律的要求.可见中国在保持内容的完整性时,同样注重学生的认知发展过程.

3 “函数与图像”和“函数与方程”

新加坡重视函数图像的教学.在新加坡的大纲里,函数部分的总标题是“Function and graphs”,即“函数与图像”.由此可见,新加坡对图像的重视,认为函数与图像密不可分,有着同等重要的地位.这也导致了新加坡对函数图像的要求较高.在具体内容的要求上,对于每一个学习的基本函数都要求学习图像,对于幂函数y=xa,除了要求掌握a=-1,0,1,2,3, 1/2的特殊情况时的图像,还要求掌握不超过这些函数中的三个幂函数之和的图像.除此之外,对于二次函数,除了掌握一般形式的图像,还要求能画出y=(x-a)(x-b)和y=(x-p)2+q两种形式下的图像,从画图中理解p、q、a、b的几何意义,加深对二次函数性质的理解.同时,新加坡还要求学生掌握直线的斜率,并且在三年级学会通过画切线来预测曲线的斜率.这些其实是对运用图像解决问题的能力的要求.所以新加坡不仅重视基本函数图像的学习同时还注重画图和运用图像的能力,而且在图像上的要求往往比中国在图像上的要求要高,如上面所说的对于幂函数图像的要求.

跟新加坡的《大纲》比起来,中国的《课标》中有一个新加坡《大纲》所没有规定的内容,《课标》里在一次函数和二次函数的内容中还提到两点“能根据一次函数图像求二元一次方程组的近似解”和“会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解”.这是将函数与方程联系起来了.如何用函数知识求方程的解,是函数的一个用途.事实上,函数与方程有着紧密的联系.中国在中学阶段教给学生这部分知识有助于学生沟通函数与方程两部分知识,形成整体观念.

李士《PME:数学教育心理学》一书中提到:“在中学数学中,函数、集合、映射等概念常常可以充当包摄性的建构工具.”[3]在《课标》里,将函数与方程联系起来,把方程看成是取特殊值的函数,就是把函数作为包摄性的工具.这种方法能帮助学生看到函数的一个意义和作用并培养学生有意识地运用函数这一概念,并开发他的功能,加深对函数乃至方程更广、更高的理解.《课标》中这一部分内容的设置体现了数学教学中的整体观念.

4 结论和启发

从《课标》和《大纲》函数内容的比较看到,中国和新加坡在函数教学上有相似之处,也有不同的地方.这是由于两国的教育理念的差别导致的.新加坡围绕“问题解决”开展教学,当然更注重实用性及实际应用能力的培养;而中国的教育是为了让学生得到全面发展,“问题解决”只是中学生应该具备的数学素质之一,故而在教学上更强调理解,保证学习内容的全面性和基础性.

虽然因为教育理念的差别导致标准内容的不同,但是通过比较,可以得到新加坡在函数教学方面的一些启示:

4.1 函数教学的引入应更直观

在我国的函数教学中,第一节课就是函数的基本概念,教师大多采用讲解生活中的例子作为函数概念的引入.但是,例子中的无关因素太多了,有时候反而会让学生产生混乱.新加坡在这方面直接通过图像来引入函数,简单明了,抓住了学生从“形”到“数”的认知规律.所以,我国可以借鉴这点,不仅给出生活中的例子,并且将这些例子转化为更直观的图像呈现给学生,可以帮助学生更好理解函数的对应关系及本质.

4.2 函数教学应更重视函数图像的教学

虽然在《课标》中,函数图像也是一个重点的内容,但函数与图像的密不可分性并没有体现出来,学生在做函数相关的题目时,很难想到画函数图像来分析题目.另外,学生的作图能力也有待提高.图像是学习函数的一个重要切入点,应该予以更多的重视.新加坡《大纲》中对函数图像的要求明显高于我国,如新加坡要求学生在三年级学会通过画切线来预测曲线的斜率等.在这方面,我国应该学习新加坡,适当提升图像的教学要求.

总的来说,中国《课标》与新加坡《大纲》之间还存在许多方面的异同,本文只是选取了函数内容标准进行了比较而已.希望以上比较得到的结果能够给中国的中学数学教育带来一些帮助.

参考文献

[1] 李秉弃.新加坡新O水平数学课程纲要的新变化[J].数学通报,2008(11).

[2] 王林全.当代中小学数学课程发展[M].广东:广东教育出版社,2006:343.

[3] 李士.PME:数学教育心理学[M].上海:华东师范大学出版社.2001:127.

[4] Ministry of Education,Singapore.Mathematics Syllabus(Secondary)[S].Singapore:Author,Curriculum Planning.

作者简介 陈幸友,女,广东省惠州人,1987年3月生,华南师范大学数学科学学院2009级4+2课程与教学论研究生,主要研究数学教育.