《向量平移问题》教学设计及反思
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广东佛山顺德容桂职业技术学校 528303
摘要：弄清平移的实质、平移的方向是解决向量平移问题的关键. 在教学中可以通过点的平移，利用数形结合及由特殊到一般的方法推导出平移公式，引导学生理解和掌握平移的本质，再把它拓展到函数平移问题进行解决.
关键词：向量平移问题；平移公式；平移本质；函数平移
向量平移问题是高中数学教材的重要内容之一，也是高考的常见考点之一. 利用向量平移公式可有效地解决平面上点的平移问题及函数的平移问题. 它涉及的三个量――平移前的坐标、平移后的坐标及平移向量可以通过平移公式联系起来. 而弄清平移的实质、平移的方向是解题的关键，也是正确运用平移公式解决问题的前提条件. 粤教版教材在处理此问题时体现了入口大，坡度高的特点，给学生的学习带来了一定的困难. 因此，教学设计中要根植于教材、用好教材，而不拘泥于教材，要引导学生把握平移的本质，不断深化对数学思想方法的理解和掌握，拓展思维空间，提高思维水平.
教学目标为:（1）理解向量平移的概念. （2）理解向量平移的实质，弄清向量平移方向与图象平移方向两者之间的关系. （3）理解平移公式中各个坐标的意义. （4）进一步领悟特殊与一般及数形结合的思想方法.
教学重点为：（1）向量平移的实质. （2）平移公式及其运用.
教学难点为：运用向量平移的实质及平移公式求向量平移中的坐标、函数解析式等.
教学过程中的问题引入需要设计问题，激发兴趣，提出问题，引发学生思考.
问题1 请大家思考下列问题，看看能否用图示方法求出点的坐标及向量.
（1）在直角坐标系xOy中，将点A（-2，3）向左平移2个单位，再向上平移3个单位到B点，求B点的坐标. 本题中的向左平移2个单位，再向上平移3个单位能否表示为向量a=？
（2）在直角坐标系xOy中，将点A（x，y）向右平移3个单位，再向下平移2个单位到点B（4，-2），求A点的坐标. 本题中的向右平移3个单位，再向下平移2个单位能否表示为向量a=？
（3）在直角坐标系xOy中，将点A（-2，3）向左或向右平移a1（a1＞0）个单位，再向上或向下平移a2（a2＞0）个单位到点B（4，-2），求a1，a2的值. 本题中的平移能否表示为向量a=？
点评 设计一个好问题，建立数与形的结合，让学生参与课堂教学活动，开展自主探索与合作交流，从中发现规律及问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程.
[⇩]向量的平移公式及平移向量的实质
1.问题导学 拓展问题，深入思考，探索及发现规律，把握本质.
问题2 用图示方法解决此类问题虽然直观、好理解，题中的数也都是整数，容易看出来，但它们的坐标关系能否用一个关系式表示其本质？另外，由以上三个例子，你能发现平移向量a的实质吗？
点评 学生在观察、操作、归纳、猜想、验证、推理等活动中体验数学，并通过设计的一串问题促进思维发展.
2. 探究与发现 通过解决问题，让学生感知知识的生成过程及对知识进行意义建构.
问题3 在直角坐标系xOy中，将点A（x，y）按向量a=（a1，a2）平移到点B（x′，y′），求B点的坐标.
解析 将问题1一般化，让学生探究三个坐标的关系. 向量平移公式为向量加法的三角形法则，即+a=. 平移向量a的实质：可以把平移看做是分两步完成的，先向左或向右平移横坐标，再向上或向下平移纵坐标. a1＞0表示将点向右平移a1个单位长度，a1＜0表示将点向左平移a1个单位长度；a2＞0表示将点向上平移a2个单位长度，a2＜0表示将点向下平移a2个单位长度.
[⇩]求解点的向量平移问题的方法
1. 知识运用与巩固 学以致用，巩固新知识，弄清平移前后的坐标关系，掌握解题方法，并注意题目的类型.
问题4 用什么方法求下列各题的坐标？
（4）在直角坐标系xOy中，将点A-
，2按向量a=（2，-1）平移到点B，则点B的坐标是 .
（5）在直角坐标系xOy中，将点A（x，y）按向量a=（1，-2）平移到点B（-4，3），则点A的坐标是 .
（6）将点A（-3，-4）按向量a=（a1，a2）平移到点B（5，4），则a= .
点评 通过由特殊到一般，再由一般到特殊的思想方法，运用平移向量的实质及平移公式解决问题.
2.师生互动预设
生：（4）题是已知平移前点的坐标及平移向量求平移后点的坐标，可用平移向量的实质或平移公式解决.
（5）题是已知平移后点的坐标及平移向量求平移前点的坐标，可用逆向思考向量平移的实质解决，也可用平移公式解决.
（6）题是已知平移前后点的坐标求平移向量，可用平移向量的实质解决，也可用平移公式解决.
师：由以上解法可知，解决这类问题最基本的方法是使用平移公式，但必须弄清平移前后的坐标及向量坐标.
[⇩]函数图象的向量平移
1. 问题拓展 变式探求新知，深化对向量平移实质的认识，巩固平移公式及其应用.
问题5 函数图象是由满足一定条件的点集合而成的. 在（4）（5）（6）题中，把A点变换为函数，平移向量不变，又如何解决？它们又是什么类型题？例如：
（7）把y=cosx的图象按向量a=（2，-1）平移后得到函数y=f（x）的图象，则y=f（x）的解析式是.
（8）把y=f（x）的图象按向量a=（1，-2）平移后得到函数y=ex-2+3的图象，则y=f（x）的解析式是.
（9）若函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到函数y=f（x+2）－3的图象，则a=.
点评 函数图象的向量平移实质是点的坐标平移，也就是说平移的实质不变，平移公式同样适用.
2.师生互动预设 学生合作交流讨论后说结果（以下相同）.
生：（7）题是类型1，也就是给出平移前的函数解析式及平移向量，求平移后函数的解析式. 可用方法1（向量平移的实质）和方法2（向量的平移公式）进行求解.
3. 探究与发现 在问题的解决中发现规律，把握本质.
问题6 对于（7）题，能不能把它推广到一般情况？结果是什么？能发现什么规律？
生：能. 把函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到的函数图象解析式是y－a2=f（x－a1），也就是把原来的函数y=f（x）中的x换成x－a1，y换成y－a1，可以将其表示为[y=f（x） y－a2=f（x－a1）][平移向量a=（a1，a2）].
师：正确啊！这是运用了由特殊到一般的思想方法，也就是通过认识一道题来深刻理解和掌握这一类型问题的解法及其规律. 同学们同样可以用这种思维方法解决（8）（9）两题.
生：（8）题为类型2，也就是给出平移后的函数解析式及平移向量，求平移前的函数解析式. 解决的方法如下.
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方法1（向量平移的实质）；方法2（向量平移的公式）；方法3（逆向思考向量平移的实质）：把y=ex-2+3看成原函数，按a=（1，-2）的相反向量-a=（-1，2）平移，则可得所求函数. 即把y=ex-2+3的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，即y=f（x）=ex-1+5.
方法4（逆向思考向量的平移公式）：把y=ex-2+3看成原函数，按a=（1，-2）的相反向量-a=（-1，+2）平移，设A（x，y）是函数y=ex-2+3图象上的任意一点，平移后函数图象上的对应点为B（x′，y′），由平移公式得x′=x－1，
y′=y+2， 即x=x′+1，
y=y′－2 . 代入y=ex-2+3得y－2=e（x+1）-2+3，即y=ex-1+5. 故y=f（x）=ex-1+5.
问题7 对于（8）题，能不能把它推广到一般情况？结果是什么？能发现什么规律？
生：能. 把原函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到的函数图象的解析式是y=g（x），求原函数y=f（x）的解析式. 则y=f（x）就是y+a2=g（x＋a1）. 也就是把函数y=g（x）中的x换成x+a1，y换成y+a2即得结果，即[y+a2=g（x+a1） y=f（x）][平移向量a=（a1，a2）].
师：正确啊！这也是运用了由特殊到一般的思想方法，也是通过认识一道题来深刻理解和掌握这一类型问题的解法及其规律. 同学们同样可以用这种思维方法解决（9）题.
生：（9）题为类型3，也就是已知平移前后的函数解析式，求平移向量. 解决的方法如下.
方法1（向量平移的实质）；方法2（向量的平移公式）；方法3（逆向思考，即上面的方法3及方法4）.
问题8 能不能把（9）题推广到一般情况？结果是什么？能发现什么规律？
生：能. 把已知的原函数y=f（x）的图象按向量a=（a1，a2）平移后得到的函数图象解析式是y=f（x＋h）＋k，h，k∈R且为常数，求平移向量a=？则y=f（x＋h）+k就是y′－k=f（x′＋h），与平移前的函数解析式y=f（x）比较可得y=y′－k，
x=x′+h， 即x′=x－h，
y′=y+k与平移公式比较得a1=－h，
a2=k.平移向量a=（-h，k）.
即[y=f（x） y′-k=f（x′+h）][平移向量a=（a1，a2）]，则y=y′－k，
x=x′+h .这就是平移关系式，也即
a1=－h，
a2=k .
师：完全正确！在学习中我们要善于从特殊中发现共性的东西，再尝试将其推广到一般性，从中发现规律.
点评 问题（6）、问题（7）、问题（8）引导学生多联系、多联想、多反思、多类比，在变式教学中学会归纳类型、总结规律，把握问题的实质.
4. 反馈练习
（1）按向量a将点（2，－3）平移到点（1，－2），则按向量a将点（－2，3）平移后的点是（）
A. （－3，4） B. （－1，2）
C. （4，－3） D. （2，－1）
（2）把y=x2+4x+5的图象按向量a经过一次平移后得到y=x2的图象，则a为（）
A. （2，1） B. （－2，1）
C. （－2，－1） D. （2，－1）
（3）若直线2x－y+c=0按向量a=（1，－1）平移后与圆x2+y2=5相切，则c的值为（）
A. 8或-2 B. 6或-4
C. 4或-6 D. 2或-8
（4）点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）. 设开始时点P的坐标为（-10，10），则5 s后点P的坐标为（）
A. （－2，4） B. （－30，25）
C. （10，－5） D. （5，－10）
（5）把函数的图象按向量a=－
，3平移后得到函数y=sin2x的图象，则原函数的解析式是（）
A. y=sin2x+
+3
B. y=sin2x-
－3
C. y=sin2x+
－3
D. y=sin2x-
+3
5. 课堂小结
（1）向量平移公式.
（2）求点的向量平移问题：三种类型及其解题方法.
（3）函数图象的平移问题：三种类型的解题方法以及规律.
（4）基本思想方法：①数形结合的思想；②一般与特殊的思想.
（5）通过例题的变式教学学习，让学生从中学会分析问题、解决问题，并发现规律.
本节课的主线：点的平移平移向量向量平移公式点的坐标按向量平移的三种类型函数图象按向量平移的三种类型及其解题方法按向量平移前后的函数解析式的变化规律.
这节课就围绕这条主线设置问题，以问题的形式对教材进行整合，并适当引申. 教师授人以“渔”，让学生学会思考. 实践证明，这样的设计更能激发学生的学习兴趣、探究问题的意识和思考能力，促进他们数学能力的发展.
[⇩]教后反思
教是为了不教. 教学过程是促进学生思维发展的过程. 只重视知识的传授，而忽视能力、智力等方面综合发展的教育已不能满足现实需要. 学会思考，掌握解题规律才是我们追求的目标. 教学不仅是练，更要注意“变变变”，所以，教师应试图从一道题引出一类题. 从一题出发，不断地改变题中的条件，环环相扣，步步为营，逐层推进，加强逻辑性，提高效率. 同时注意总结反思，回顾经历了哪些过程才做出了这道题，还要做到层次分明，从而培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新潜力，形成探究意识，提高应变能力.
教学生“学会思考”及怎样从题海中解放出来. 学会思考和掌握解题规律同样是我们追求的目标. 学会思考不同于概念复习，属于默会知识，需要一个长期的过程.
培养学生的主要能力――知识运用能力、分析问题的能力、解决问题的能力. 老师不仅要过程，更要讲原理. 多让学生感到自然，并感到没有强加于他们，尽可能（不是全部）使学生觉得，老师能想到的，他们也能想到，使学生真正理解问题的所在. 要“鱼”“渔”都给学生，重视思想方法的复习，从源头上解决问题.
没有把解题的各种方法作为本课的重点，而是要将求向量平移的坐标作为本课的重点，把解决问题思考的出发点作为本课的核心内容. 通过变换题目的条件与结论，使学生遇到求向量平移问题时，学会思考问题，知道如何下手，而不是利用各种方法进行简单、机械地操作.
怎样实施解题教学？解题规范包括审题规范、语言表达规范、答案规范. 解题教学不仅是练，更要注意“变变变”. 教师试图从一道题引出一个话题，通过开放一题达到复习一片的目的. 在设计本课时，从一题出发，不断地改变题中的条件，环环相扣，加强逻辑性，提高效率. 同时培养学生的发散思维能力，挖掘出学生的创新潜力，让他们形成一定的探究意识，从而提高他们的应变能力.
解决教学必须注意总结反思，回顾经历了哪些过程做出了这道题，做到层次分明. 条件用在哪里？结论合理吗？多问几个为什么. 通过解剖一个个小问题，达到提高学生分析问题和解决问题的能力. 一定要做好题后反思，哪怕只有一句话，也必须在质量上下工夫，而不仅仅是数量.
逐步设问，引导学生探究. 解题的思维起点至关重要. 选题应选择难度适中同时又包含丰富数学思想的问题. 这样的问题对于基础知识的掌握才可以做到系统化、网络化，同时才能在习题教学中体现中学数学的各种思想和方法.
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