探究性学习的“真”与“深”

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名师档案

黄爱华，中学高级教师，广东省特级教师，深圳市享受政府特殊津贴专家。两次代表广东省参加全国课堂教学评比，获一等奖。应邀在上海、江苏、浙江、吉林、福建、、新疆等全国24个省市的教学研讨会上作观摩课、示范课，并作专题讲座100多场次，在国内小学数学界产生了一定影响。在《人民教育》、《中国教育报》、《小学数学教师》、《中小学数学教育》、《江苏教育》等全国十多家省级以上报刊发表教学论文180多篇，荣获上海教育、江苏教育报刊社举办的全国教学论文评比一等奖，两次获全国小学数学尝试教学理论研究论文评审一等奖。主持苏教版国家课程标准小学数学实验教科书多媒体教学资源的开发工作，为苏教版国家课程标准数学实验教科书的审稿人。河北教育出版社出版40万字专著《黄爱华数学课堂教学艺术》，较系统地总结了他的课堂教学艺术。

一、课前谈话

师：同学们是五年级几班的?

生：五(1)班的。

师：你们学校五年级一共有多少个班?

生：有13个班。

师：有13个班，那么为什么会选你们班来和黄老师一起上这节课?

(生笑，听课者笑)

[悟：教师抛出这样一个不需回答的问题，让学生感到非常自豪，使课堂气氛立刻变得更加融洽，有利于接下来进行的课堂教学。]

二、基本铺垫

(屏显：平均数)

师：平均数，同学们都已经学过了。

(屏显：平均身高)

师：要求几个人的平均身高，你会收集哪些有关的数学信息?

生：要有每个人的身高和总人数。

师：知道每个人的身高和总人数，你会怎么求出这几个人的平均身高?

生：将每个人的身高加起来，得到总身高，再用总身高除以总人数，就得到了平均身高。

(师板书：总身高÷总人数=平均身高)

[悟：这一节课内容的教学是在学生初步学会求平均数的基础上进行的，通过这一节课的探究性学习，使得学生能够进一步深刻认识一组数据的平均数与每一个数据、数据个数之间的相互联系；培养学生通过数据进行分析、判断和推理的综合能力。在这里教师通过与学生对话、交流，板书出“总身高÷总人数=平均身高”，起到了和全班学生共同回忆、复习旧知的作用。将本节课所需的知识起点强烈地唤醒。]

三、激起冲突，为探究做准备

(屏显：平均身高142厘米)

师：看到这个数据你能想到些什么?

生1：有几个人的平均身高是142厘米。

生2：有的人身高高于142厘米，有的人低于142厘米，有的人可能正好就是142厘米。

[悟：给出一个平均值142厘米，让学生来对其所包含的数学信息进行解读，又一次引领全体学生对“平均数”的意义加以深刻领会和准确把握。]

(屏显：男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米)

师：你又能想到些什么?

生：可以算出男、女生的平均身高是(142+140)÷2=141厘米。

(师未置可否，接着屏显：环保小队共有10同学，男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米，这个小队的平均身高是多少厘米?)

师：能不能解决这个问题?

生：能!

师：请在自己本上动笔写出来。

[悟：教师对“男、女生平均身高141厘米”这一结论未加评论，是要将学生推向探究学习的前台。‘接着让学生动笔写出答案，则是为了进一步激起矛盾冲突，将全体学生推向矛盾的焦点，学生已经情不自禁地参与到这一探究的历程中。]

师：好的，结果出来了。今天的任务已经完成了，同学们可以收拾一下回班级了。

(听课者笑，学生个个一脸狐疑。)

师：那你对“141厘米”有怀疑吗?

生1：我认为不对，可能是(142+140)÷10=28.2(厘米)。

师：噢，你认为这个小队的平均身高是这么高。

(师蹲下身子，全班同学笑，听课者笑。)

生2：因为男、女生各自的准确人数没有告知。所以不能求出答案。

师：有没有可能就是141厘米?

生3：有!

师：什么情况下男、女生的平均身高就是141厘米?

生3：当男、女生人数相等时，就是有5名男生、5名女生时。

[悟：虽然平均身高141厘米是其中的一种情况，教者却显然动了一番心思让学生经历了一个自我否定的过程。这一自我否定的过程也水到渠成地引出了下一个为探究建模型的环节。]

四、归纳整理，为探究建模型

师：题中并未说出就是5名男生和5名女生，还有可能有哪些情况?

生1：还有可能有6名男生，4名女生。

生2：还有可能有7名男生，3名女生。

生3：还有可能有8名男生，2名女生。

师：这些就是当男生比女生多的情况。我们不研究9名男生与1名女生的情况，因为题中已经说明是女生的平均身高了，同样也不研究1名男生与9名女生的情况。

师：如果在黑板上将141厘米划出一条线段，标为第①种情况。(师板书：141cm――①)你认为当男生比女生多的时候，他们的平均身高会怎么样?

生：会超过141厘米。

师：不会超过多少厘米?

生：不会超过142厘米。

师：我们把高于141厘米而低于142厘米的标为第②种情况。还有没有可能低于141厘米的呢?

生：有，当男生人数比女生人数少的时候。平均身高就会低于141厘米。

师：会低于140厘米吗?

生：不会。

师：我们把高于140厘米而低于141厘米的标为第③种情况。

[悟：师生共同经过猜测、分析、画图，初步归纳出解答本题的3种情况。尤其是画图，让学生对男、女人数差对平均数的影响有了更直观的感受，但这还仅仅是猜想。有了对这3种猜想的架构，无形中为后续的探究学习理清了头绪和脉络，从整体上让学生对这一问题的本质有了全局性的把握。]

师：这3种情况是结论吗?

生：不是，是我们猜的。

师：对的，这只是我们的猜想。我们还要经过验证，才能得出结论。那么如何对刚才的猜想进行验证呢?

(屏显：环保小队共有10同学，男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米，这个小队的平均身高是多少厘米?)

(屏显下面的表格)

五、分组验证，自主探究

(全班同学分成6个小组，师根据上述3种情况的划分，结合各小组的意见，确定：第①小组研究男生5人、女生5人的情况；第②小组研究男生5人、女生5人的情况；第③小组研究男生6人、女生4人的情况；第④小组研究男生7人、女生3人的情况；第⑤小组研究男生4人、女生6人的情况；第⑥小组研究男生3人、女生7人的情况。)

(师指表格，对照表中各栏目逐一释疑，和学生一起为下一步的自主探究扫清障碍，并参与个别小组的验证过程，全班同学的整个验证过程持续十分钟。)

师：同学们的验证已经结束了。请回顾一下你们小

组验证的是第几种情况?得出的结论是什么?再听取一下别的小组的研究情况，整体思考一下。

[悟：这里的小组合作学习是有意义的、有准备的、有深度的，因为这样的探究目标是明确的，思路是清晰的，学生的探究准备是充分的。而3种情况共由6个小组来验证，每两个小组验证同一种情况，则又是教者的周密设计。从后续的学生研究汇报中，可以明显地看出不同数据对于结论的相互印证。]

六、学生汇报，得出探究结论

师：请各小组派一名代表来汇报一下你们组的研究成果。

生1(第①小组)：大家好!我们组研究的是男生5人、女生5人的情况。我们猜想小队的平均身高是141厘米，验证是这样的：(142×5+140x5)÷10=141(厘米)，我们的结论是：(男生平均身高×男生人数+女生平均身高×女生人数)÷总人数=小队的平均身高。

师：好的，你们还给出了一个求小队平均身高的公式。第②小组与你们研究的是同一种情况，请第②小组的代表也来汇报一下。

生2(第②小组)：我们组是用两种计算方法进行验证的，一是和第①组的方法相同的，(142×5+140x5)÷10=141(厘米)，二是直接用(142+140)÷2=141(厘米)。

师：你们认为当男、女生人数相等时，就可以直接用男、女生的平均身高加起来除以2。

生2：是的，我们组还得出了3个结论：①当男、女生人数相等时，可以直接用男、女生的平均身高加起来除以2；②(男生平均身高×男生人数+女生平均身高×女生人数)÷总人数=小队的平均身高；③当男、女生人数不相等时，就不可以直接用男、女生的平均身高加起来除以2。

[悟：很显然，第②小组同学对当男、女生人数相等时平均身高的理解更深刻、更全面，方法更简洁。这里，课开始时教者的板书画图功不可没。]

生3(第③小组)：我们小组研究的是男生6人、女生4人的情况。我们得出的结论有两个：①是当男生人数比女生人数多时，小队平均身高就比141厘米大，但比142厘米要小：②是当男生人数比女生人数多一点时，小队平均身高就比141厘米多一点。

师：什么叫“多一点”呢?

[悟：这一问，问出了课堂的趣味，再次激活了学生的兴奋点。“多一点”这一来自学生的“原生态”，表达很微妙，虽然很不准确，完全没有了数学的严谨，却能真切地感受到学生对这一问题认识的深刻程度和对由于男、女生数据个数变化而引起的平均数值变化之间关系的准确把握。]

生3：比如当男生7人与男生6人时，小队的平均身高就比141厘米“多一点”。当男生6人、女生4人时，小队的平均身高是(142×6+140x4)÷10=141.2(厘米)。

(全体学生笑，听课者笑。分明，学生是理解的。)

师：好的，我们继续听第④小组的介绍。

生4(第④小组)：我们的验证也证明了我们的猜想，当男生7人、女生3人时，小队的平均身高超过了141厘米。(142×7+140×3)÷10=141.4(厘米)。

师：从第③组和第④组的结果看。还真的是男生越多，小队的平均身高就越“多一点”。

生4：我们小组还有一个发现，就是每多一名男生，小队的平均身高就多0.2厘米。因为1名男生占全体人数的1/10，1/10×(142-140)=0.2(厘米)。

师：真是一个伟大的发现!

生5(第⑤小组)：我们研究的是男生4人、女生6人的情况。我们组有两个结论：①女生越多，男生越少，小队的平均身高就越低，但还在140cm～141cm之间；②男、女生人数不同，小队的平均身高就不同。

生6(第⑥小组)：我们研究的是男生3人、女生7人的情况。我们组也有两个结论：①当女生比男生人数多时，小队的平均身高总在140cm～141cm之间；②当女生越多时，小队的平均身高就越接近140厘米。

师：现在我们把6个小组对3种情况的验证情况放在一起梳理一下，会有什么结论?

[悟：为什么要启发学生将3种情况放在一起进行梳理呢?不言而喻，每个组独自的探究是独立的、分割的且又并列的，不放在一起从问题全局的高度去考量，恐怕难免会出现诸多一叶障目的现象，最终将直接影响问题解决过程中判断的精准性。]

生1：这个小队的平均身高一定在140cm～142cm之间。

生2：男生每比女生多1人，小队的平均身高就多0.2厘米。

生3：男、女生的人不同，小队的平均身高就不同。

师：是的，男、女生人数的变化影响着这个小队的平均身高。

[悟：“男、女生人数的变化影响着这个小队的平均身高”这一貌似结论却胜似结论的导出，将学生思维理性推向了一个新的高度，同时更明晰地表达出教者在传授知识、培养技能的同时，为学生积聚经验、锤炼思维做出了一次更富成效的引领。教者巧妙地引领学生经过猜测和验证，呈现出“权数”变化引起平均数变化的趋势和规律，帮助学生体验到“权数”对平均数的影响。通过揭示问题的本质让学生获得知识，体会数学思维方法。]

七、根据结论，灵活解决实际问题

(屏显：第一小学五(3)班有男生15人，平均体重是34千克，女生21人，平均体重是32千克。全班的平均体重是多少千克?)

师：你能猜测出这个班的平均体重在什么范围吗?

生：在32千克～34千克之间。

师：能进一步缩小这个范围吗?

生：在32～33千克之间。

师：为什么?

生：因为假设男、女生人数相等的话，五(3)班的平均体重应该是33千克。现在女生人数比男生多，且女生的平均体重比男生低，所以全班的平均体重应该是在32～33千克之间。

(屏显：小明看一本故事书，前2天平均每天看25页，后5天平均每天看23页。小明这一星期平均每天看几页?)

师：你能快速地确定小明这一星期平均每天看的页数所在的范围吗?

生：在23-24页之间。

师：说出你的理由。

生：因为后5天平均每天看的比较少。

(屏显：和平桥敬老院里有老奶奶11人，平均年龄80，5岁，有老爷爷12人，平均年龄73，6岁。全院老人的平均年龄是多少岁?)

师：请在作业本上解答出来。

展示：(80.5×11+73.6x12)÷(11+12)

=(885.5+883.2)÷23

=1768.7÷23

=76.9(岁)

(屏显：巧克力糖　水果糖

每千克60元　每千克40元

混合成什锦糖，每千克是多少元?)

师：如果你是商店的经理，你打算怎么来定价?

生1：我想将什锦糖定价为每千克50元，只要保持巧克力糖与水果糖的重量相等就行了。

生2：我想将什锦糖定价为每千克比50元高一些，只要保证巧克力糖比水果糖的重量多一些就行了。

生3：我想将什锦糖定价为每千克比50元低一些，我想少放一些巧克力糖。

(屏显：现有3种定价，请你分别说一说每种什锦糖

中哪一种糖更多一些?①每千克44元；②每千克50元；③每千克54元。)

师：第一种定价每千克44元，你认为哪一种糖更多一些?

生：肯定是水果糖，因为水果糖要更便宜一些。

师：第二种定价每千克50元，你认为哪一种糖更多一些?

生：一样多，因为只有两种一样多时，什锦糖的定价才会是(60+40)÷2=50元。

师：第三种定价每千克54元。你认为哪一种糖更多一些?

生：那就是巧克力糖了，因为巧克力糖要更贵一些，所以会多一些。

[悟：如果说一节课整体环节的设计能反映出一位教者对教材、学情的准确把握和对教法的灵活运用的话，那么对一节数学课练习的精心设计则必能衬托出教者对教学所要达成的目标的深刻领会和对教学重、难点的有效突破。上述几道练习题“螺旋”上升，不仅达到了对平均值估值准确性的检测作用，还从相反的视角检测了学生对平均值确定后两项数据个数的合理配置的能力。]

八、思路整理，提炼数学思维

师：幸好课刚开始10分钟的时候同学们没有收拾东西回教室，否则我们就不会有这么多的发现了。

(生笑，听课者笑。)

师：我们今天一起经历了一个什么样的过程?

生1：我们今天经历了猜想与验证的过程。

师：刚开始就猜想了吗?先有了什么才会猜想的?

生2：我们是有了对平均身高141厘米的怀疑才开始猜测的。

师：是的，先有怀疑再开始猜想。那验证过后我们又得到了什么呢?

生3：得到了一些我们的观点。

师：很好!我们今天共同参与了一个由怀疑到猜想，由猜想到验证，再由验证得出结论的研究历程。这也是任何科学研究的基本思路。

(师板书：怀疑猜想验证结论。)

[悟：“怀疑猜想验证结论”这一科学的探究历程将是所有学生在本节课上最有价值的收获，因为他们可以从这节课上想开去。]

[总悟：美国国家科学教育标准中对探究的定义是：“探究是多层面的活动，包括观察；提出问题；通过浏览书籍和其他信息资源发现什么是已经知道的结论，制定调查研究计划；根据实验证据对已有的结论作出评价；用工具收集、分析、解释数据；提出解答，解释和预测；以及交流结果。探究要求确定假设，进行批判的和逻辑的思考，并且考虑其他可以替代的解释。”而探究性学习，它就应是一种学习的理念、策略和方法，在教学过程中以问题为载体，创设一种类似科学研究的情境和途径，让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的生产过程，进而了解社会，学会学习，培养分析问题、解决问题的能力和创造能力。本节课上，教者智慧地体现着上述探究性学习的要义，给我们印象最深的，是整节课所流露出的“真”与“深”：①“真”，顾名思义，不是“演”课，不是“演”教学设计，更不是“演”教学内容。“真”在教者对学情的准确把握，对教学内容的合理整合和对教学环节的巧妙设计：“真”在学生学习起点的有效呼应，矛盾冲突的不断形成以及验证、探究的深入开展；“真”在师生双方于一节课的时空内所新生成的教学资源，以及对其有效挖掘。“真”植根于学生对问题解决的真实需要，得益于教者对男、女生人数探究种类的引导、划分，升华于学生真实的探究历程，并于历程中得出了结论、总结了方法。②“深”，即不是华而不实，而是一招一式皆有烙印。课开始十分钟，问题解决之一“男、女生相等时平均身高即141厘米”这一结论即出，但此时的学生认识是肤浅的、断裂的，因为缺乏联系的、整体的思维去支撑，片面也就成了必然。而随着对“男、女生人数到底对平均身高有着怎样的影响”的猜测、验证与探究的不断推进，首先得以革新的是学生的思维，矛盾的形成、冲突的爆发慢慢随着小组合作的探究性学习得以冷却与平息，随之而来的是“怀疑猜想验证结论”这一科学研究思路得以固化，无疑，这对学生的终身学习都是有益的。“真”导出了“深”，“深”扩展了“真”。没有“真”，也谈不上“深”；没有“深”，也成就不了“真”。]