他是赔了还是赚了

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“甲从一个鱼摊上买了3条鱼，平均每条a元，又从另一鱼摊上买了2条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙.如果a＜b，试问甲是赔了，赚了，还是不赔不赚？”Z老师以设问开始了今天的讲座.

S同学说：虽然a＜b，但由于a、b的不确定性，估计都有可能.

W同学说：甲买鱼共花去3a+2b元，卖鱼得元.问题的实质是比较3a+2b与的大小.比较大小最常用的方法是考虑它们的差.（3a+2b）

-=（a-b），由于a＜b，所以（3a+2b）-＜0，即3a+2b＜.这说明卖鱼得到的钱比买鱼花去的钱多，应该是赚了.

Z老师说：两个实数x与y，若x-y＞0，则x＞y；若x-y＜0，则x＜y；若x-y=0，则x=y.因此比较大小的关键就是如何确定两数的差的正、负.

例1已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19.其中a＞2.（1）求证：B－A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大并说明理由.（2006年南通中考试题）

K同学说：第（1）题实际上就是启示我们考虑用B与A的差来比较大小.由于B－A=（a2－a+5）－（a+2）=a2－2a+3=a2－2a+1+2=（a－1）2+2.而（a－1）2≥0，有（a－1）2

+2＞0，得B－A＞0.所以A＜B.

Z老师说：第（2）题先放一下，请看例2若M=10a2+b2－7a+8，N=a2+b2+5a－1，试比较M、N的大小.

H同学说：M－N=10a2+b2－7a+8－（a2+b2+5a－1）=9a2－12a+9.对二次三项式9a2

－12a+9进行配方，得9a2－12a+9=9a2－12a+4+5=(3a－2)2+5，由于（3a-2）2≥0，有（3a

－2)2+5＞0，所以M＞N.

Z老师说：利用非负数或非负数的和来确定差值的正负，这是一种常用的方法.

例3a、b、c为实数，试比较a2+b2+c2与ab+ac+bc的大小.

L同学说：受前面的启发，考虑a2+b2+c2－（ab+ac+bc）=a2+b2+c2－ab－ac－bc

=×2（a2+b2+c2－ab－ac－bc）=（2a2+2b2+2c2－2ab－2ac－2bc）=[（a－b）2+（b－c）2

+（c－a）2].当a=b=c时，差为0，所以a2+b2+c2=ab+ac+bc；当a、b、c不全相等时，差大于0，所以a2+b2+c2＞ab+ac+bc.

W同学说：对于例1的第（2）题，C－A=a2+5a－19－（a+2）=a2+4a－2１=a2+4a+4

－２５=（a+2）2－25.此时是两数相减，不能断定差的正、负，怎么办呢？

S同学说：对于二次三项式a2+4a－21，易由因式分解得a2+4a－21=（a+7）（a

－3）.显见，由a＞2，得a+7＞a＞0.而对于a－3来讲，当a＞3时，a－3＞0；当a=3时，a－3

=0；当a＜3时，a－3＜0，注意到本题中a＞2，故当2＜a＜3时，a－3＜0.综合对a取值范围的讨论，有①当a＞3时，（a+7）（a－3）＞0，有C＞A；②当a=3时，（a+7）（a－3）=0，有C=A；③当2＜a＜3时，（a+7）（a－3）＜0，有C＜A.

Z老师说：通常我们将这一过程称为“作差化积”，由各个因式的正负，来确定差的正、负，达到比较大小的目的.如果本题中条件a＞2取消，结果会有什么改变？

小清说：对第（1）题没有影响，在解题过程中并没有用到条件a＞2.对第（2）题，由于a＞2取消，不能保证a+7＞0.对于因式a+7来讲，当a＞－7时，a+7＞0；当a=－7时，a+7=0；当a＜－7时，a+7＜0.但如何将这两个因式的正负讨论综合起来呢？我找到了一个办法，借助数轴，图中实线表示x－3为正，虚线表示x－3为负，“0”表示x－3=0.再画出因式x+7的正负情况：可知当x＞3时，（x－3）（x+7）＞0；当

－7＜x＜3时，（x－3）（x+7）＜0；当x＜－7时，（x－3）・（x+7）＞0；当x=3或x=－7时，（x－3）（x+7）=0. A、C的大小就清楚了.

Z老师说：小清分析得很准确.借助数轴数形结合，简化了解题过程，有创造性.它得益于利用数轴解一元一次不等式组，你理解了吗？如果你懂了，请你课后去想一想这道题：解方程3x+2+2x－1=4，怎样解？

Z老师最后总结说：透过对实数大小比较的研究，你是否意识到要重视题型的研究，去探索解题的规律？在一般规律的指导下，再结合具体问题的实际，灵活运用解题方法，就能不断提高解题能力，提高自己的数学学习能力.