线性相关性的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇线性相关性的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘要：通过用行列式、秩、线性方程组以及向量组线性相关性的定义等方法来判断向量组的线性相关性。因为向量组的线性相关性可以解决许多领域中的难题，所以通过判断向量组的线性相关性的方法能应用于线性代数、平面几何、化学以及社会实践当中。

关键词：向量组；线性相关；线性无关

中图分类号：O151.26 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2013）40-0086-02

一、引言

向量组的线性相关性在许多领域中占有举足轻重的地位。它与行列式、矩阵、线性方程组的求解、二次型、线性变换、欧式空间以及社会生活实践等都有着密不可分的联系。因此，通过判断向量组的线性相关性的方法解决了线性代数、几何以及社会实践当中一些难题。

二、判断向量线性相关性的方法

1.用定义判断向量的线性相关性。设α1，α2，…，αr是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数a1，a2，…，αr使得a1α2+a2α2+…arαr=0 （1）

那么就说α1，α2，…，αr线性相关，如果式（1）当且仅当a1=a2=…=ar=0时成立，那么就说向量α1，α2，…，αr线性无关。

2.用行列式判断向量的线性相关性。若α1=（a11，a21，…an1），α2（a12，a22，…an2），…，αn=（a1n，a2n，…，anm），则

A=a■ a■ … a■a■ a■ … a■ a■ a■ … a■=（α1，α2，…，an）

α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是|A|=0；α1，α2，…，αn线性无关的充要条件是|A|≠0。

3.用向量组的秩来判断。α1，α2，…，αn线性相关？圳R（A）

4.用线性方程组来判断。若α1，α2，…，αn为系数向量的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xnan=0，（2）非齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xnan=bi（i=1，2，…，n）（3）

当方程组（2），（3）有无穷多组解？圳向量组α1，α2，…，αn线性相关；

当方程组（2），（3）有唯一解，方程组（2）只有零解？圳向量组α1，α2，…，αn线性无关。

三、应用

1.线性相关性在线性代数中的应用。

例1.设向量组α1，α2，…，αn线性无关，向量β1可由这向量组线性表示，而β2不能由这向量组线性表示，试讨论： α1，α2，…，αn，sβ1+tβ2的线性相关性（s，t是不为0的常数）。

解：假设α1，α2，…，αn，sβ1+tβ2的线性相关，则存在一组数不全为零的数k1，k2，…，kn+1，使得 k1α1，k2α2，…，kn+1（sβ1+tβ2）=0 ①

由于β1可由α1，α2，…，αn线性表示，设存在一组数不全为零的数l1，l2，…，ln，使得β1+l1α1+l2α2+…+lnαn ②

将②式代入①式，在整理得（k1+skn+1l1）α1+…+（kn+skn+1ln）αn+kn+1tβ2=0，

因为α1，α2，…，αn，β2线性无关。

所以ki+skn+1li=0，（i∈N+）t=0？圯k1=k2=…=kn+1=0，

即证α1，α2，…，αn，sβ1+tβ2线性无关。

2.线性相关性在平面几何中的应用。

例2.已知平面上三条不同直线的方程为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，试证：这三条直线交于一点的充要条件是a+b+c=0。

解：“必要性”：设这三条直线交于一点（x0，y0），则（x0，y0，1）T是Ax=0的非零解，其中

A=a 2b 3cb 2c 3ac 2a 3b，则|A|=a 2b 3cb 2c 3ac 2a 3b=-（a3+b3+c3-6abc）=-3（a+b+c）[（a-c）2+（b-c）2+（a-b）2]=0，所以a+b+c=0。

“充分性”：将直线l1，l2加到l3上且由a+b+c=0可知，方程组等价于ax+2by=-3c，bx+2cy=-3a.

而a 2bb 2c=2（ac-b2）=-2[a（a+b）+b2]=-[a2+b2+（a+b）2]≠0，因为a≠0，b≠0，c≠0，所以方程组有唯一解，l1，l2，l3交于一点得证。

3.线性相关性在社会生活实践中的应用。

例3.某机械厂用5种零件（A-E），根据不同的比例配制成了4种产品，各用量成分见表1。

问能否生产成新产品？

解：把每一种新产品看成一个五维列向量，则α1=（1，1，2，5，7），α2=（1，2，3，7，10），α3=（1，3，4，9，13），α4=（1，4，5，11，16），在此令矩阵A=（α1，α2，α3，α4），因为R（A）=2，故向量组线性相关，其中向量组（α1，α2）为其极大无关组，并且α3=α1+α2，α4=2α1+α2，α5=4α1+3α2，因此，可以生产新产品3号、4号和5号。

例4.线性相关性在化学中的相关应用。

化学方程式的配平：

确定x1，x2，x3，x4，x5，x6，使两边原子数相等，方程为：

x■12000+x■01110+x■03101+x■14200+x■00101+x■01020

写成矩阵方程为1 0 0 1 0 02 1 3 4 0 10 1 1 2 1 00 1 0 0 0 20 0 1 0 1 0x■x2x3x4x5x6=00000

解得：x1=3，x2=6，x3=1，x4=3，x5=1，x6=3。

故原化学方程式为：

致谢：感谢通讯作者王凡彬的悉心指导。

参考文献：

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]艾春瑞，李娟.线性相关性在线性代数中的作用[J].牡丹江师范学报（自然科学版），2011，（2）：11-12.

[3]李晓颖.浅谈如何判断一组向量线性相关[J].中国校外教育，2012，（2）：79.

基金项目：内江师范学院2012年大学生科研项目（12NSD-21）

作者简介：王玲（1991-），女，四川威远人，内江师范学院数学与信息科学学院学生。

通讯作者：王凡彬（1957-），男，四川富顺人，内江师范学院教授，研究方向：偏微分方程及应用。