圆锥曲线的离心率问题解析

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇圆锥曲线的离心率问题解析范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

圆锥曲线离心率是高考的常考题型，因为离心率是圆锥曲线中的一个重要元素，它的变化会直接导致圆锥曲线的形状和类型，同时它也是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，所以在高考题中经常有求离心率的问题，并与轨迹问题密切相关；同时因为不同的圆锥曲线的离心率有不同的范围，因此可以求参数的取值范围。总之，可以从多个角度、多个层面来考查学生综合运用圆锥曲线知识和分析问题、解决问题的能力。本文就谈一谈与离心率有关的几类问题。

题型一：求离心率的值

（一）根据离心率的范围，估算e。即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率、双曲线的离心率、抛物线的离心率来解决。

【例1】设，则二次曲线＝1的离心率的取值范围为（）

A. B. C. D.

解：由，故有，，因此所给的二次曲线是双曲线。由双曲线的离心率，应排除A、B、C，而选D。

（二）直接求出a、c，求解e。已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来解决。

【例2】已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

解：抛物线的准线是，即有双曲线的右准线，

有，解得，，则，故选D。

此外，还有根据题设条件关系式，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e（恕不再举例）。

题型二：求离心率的取值范围

【例3】设双曲线的方程为，A、B为其左右两个顶点，P是双曲线上的任意一点，引，，AQ与BQ交于点Q。（1）求Q点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹为，的离心率分别为，当时，求的取值范围。

解：（1）设。

因为，所以

式乘（2）式得，得（点和除外）。

由第一问知 ，

本题是利用离心率的定义求范围。有些题还可以利用判别式得出不等式，求离心率的取值范围。

题型三：利用离心率求参数的取值范围

【例4】已知椭圆C的方程为，双曲线方程为的两条渐进线为，其中的斜率为正值，过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P点，设与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。当时，求的取值范围。

解：由题意可得，，，可设的方程为，求交点P的坐标为，由得A。

又A在椭圆上，把A的坐标代入，得，

即，等式两边同除以，得，

整理得。

当且仅当时，取最大值。

题型四：利用离心率求轨迹方程

【例5】求过定点，以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。

解：设左顶点为A，F为左焦点，由于y轴是椭圆的准线，连FA交y轴于N，由椭圆的定义有，左焦点为，又椭圆过定点M，则根据椭圆的第二定义有，即，化简整理得。

【例6】动椭圆C以坐标原点O为左焦点，以定直线为左准线，点B为椭圆C的短轴上的一个端点，线段BO的中点为M，求点M的轨迹方程。

解：设M（x,y），则B，根据椭圆的性质有，所以椭圆的离心率为。

根据椭圆的第二定义知，点B左焦点与到准线的距离为比等于离心率e,即,化简得。所以点M的轨迹方程为(。

（作者单位：河北衡水中学）