数学教学需要培养学生的观察发现力

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摘 要：本文结合课堂数学教学实践，通过例举对一些数学问题的探索分析，明确在让学生探究知识的过程中应重视培养学生的观察能力，让学生发现数学问题的关键，帮助学生思考获得最佳的教学效果。

关键词：数学 教学 观察发现

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0023-02

数学教学应较好地、有效地让学生培养数学思维能力。要让学生对问题追根寻源，发挥学生的主动性，激发起学生的学习兴趣。这就需要学生具有善于“观察发现”的能力。观察发现是人们认识客观世界的最重要手段，很多有成就的科学家之所以能有所发现、有所发明。一方面是具有良好的思维能力；另一个重要原因就是他们有良好的观察发现力。在数学教学中对学生观察发现能力的培养，这是数学教学的前提，也是解决数学问题的手段。如在平面几何的教学中，难于着手的证明题极多，学生易产生畏难情绪，在教学中应利用各类题目或同一题中各小题的关系，让学生观察题型发现问题的规律，找出解决问题的方法，归纳出同类证明题的思路，有繁变简，由难变易，提高学生的学习兴趣及解题能力，养成敏捷的数学思维能力。比较下列各题有什么规律特点？

第一题（如图1所示）四边形各边的中点顺次连结的四边形，是一个平行四边形。

第二题（如图2所示）四边形的一组对边同两对角线的中点顺次联结的四边形是一个平行四边形。

第三题（如图3所示）延长四边形AKCL的两组对边，AK、LC交于B，AL、KC交于D，若AB、BC、CD、DA的中点顺次是E、F、G、H则EFGH是平行四边形。

引导：（1）让学生观察第一题，图1提问：

①已知条件是什么？要求证的是什么？

②思考证明四边形是平行四边形可用哪些方法？

③是否可以直接利用定理来证明四边形是平行四边形吗？

④可用什么方法来求证？（如连结BD，利用三角形中位线定理证明四边形一组对边平行且相等）

（2）观察第二、三题。（观察方法与第一题一样）

（3）通过以上三题的观察，看图（2）、（3）与图（1）有什么发现？（有什么不同之处？什么相同之处？有什么相关？）

（4）让学生各自发表自己的发现。（对以上三题的观察知道，可发现，以上三题表面看是三个完全不同的题目，但实际是同一题的变形。如把第一题中的四边形ABCD的BC边反过一个方向，就成第二题；如把第一题中的四边形ABCD中的∠C换作>180°，就成第三题。因此，它们的证法也相同，都可用第一题利用三角形中线定理来证明。）

（5）教师归纳总结。从以上同学们的观察可知，要发现问题应从被观察问题的表面着手，把观察到的东西，系统的有条理的进行分析，找出问题的实质，发现同类问题的共同特征，整理出解决同类问题的途径及方法。所以我们只要善于观察发现问题，不少几何证明题多可归类找出典型图形，可总结解决这类问题的方法，以后碰到就迎刃而解了。

第一题（如图4所示）在三角形ABC各边上向外各作等边三角形ABD、BCE、CAF，则CD=AE=BF。

第二题（如图5所示）四边形ABCG的一组对边AB、CG上向外各作等边三角形ABD、CGF，又在BC上向内作等边三角形BEC，则DE=AC，EF=BG。

第三题（如图6所示）A、B、C是同一直线上的顺次三点，以AB、BC为边，向同侧各作等边三角形ABD、BCE，则AE=CD。

第四题（如图7所示）A、C、B是在同一直线上顺次三点，以AB、CB为边，向两侧各作等边三角形ABD、CBE，则AE=CD。

引导观察：用以上的方法观察可有什么发现？

可发现：以上四题图形截然不同，第1题是三角形，第二题是四边形，第三、四题是直线，但其中所含有完全类似的部分―― 都有等边三角形。根据观察，可发现两全等三角形的基本图形，因此，证法也就一样。如第1题中，因∠DBA=∠CBE=60°，两边各加上∠ABC得，∠DBC=∠ABE，又DB=AB，BC=BE，DBC≌ABE，CD=AE得证。第二、三、四题同理可证得（略）。

可继续观察下面两题（并作图），有什么发现？

（1）若在ABC的两边AB、AC上向外各作正方形ABDE，ACFG，则BG=CE，BGCE。

（2）在线段AB上任取上点C，以AC，CB向同侧各作正方形ACDE，CBFG，则AG=DB，AGDB。

让学生自己归纳发现结果。

以上两题就是把前几题作等边三角形换作作正方形，观察步骤方法也与前几题相同，解决问题的方法也相同。可证得二线相等并可得出两相等线段必垂直。（证法略）

观察发现在几何题的动态题型中也很重要。不少题目表面看运动后图形变化较大，但很多题目实际与起始图形有较大的内在关系，可以让学生结合原始图形作为观察的对象，发现图形运动后的不变性来分析证明。

评讲试题：如图8，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，在BC边上取两点E、F点E在点F的左边），以EF为边所作等边PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H。（1）求PEF的边长；（2）若PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；（3）若PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图9和图10所示，CF>1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论。

分析：问题（1）较简单，可以过点P作PKBC于K，因为四边形ABCD是矩形，所以PK=AB=，PEF是等边三角形，∠PEF=60°，易得PE=PF=EF=2。

问题（2）运动变化，需提示观察发现∠PHA的不变性特点，求出∠PHA=30°，并且利用三角函数求出∠PAH=30°。因此，得到∠PHA=∠PAH，PA=PH，即得：PH=PA=KB=BE+KE=BE+1。

而问题（3）图形的运动，则需结合问题（2）观察图8、图9、图10运动变化的特点，发现图形中始终不变的关键，因此，对问题（2）中∠PHA深入研究，发现∠PHA=30°始终不变，即可推导得出PH=PA始终成立，由此可得如图9时结论为PH=PA=1-BE（1

数学教学的中心是问题教学，因此，要让学生善于观察问题，善于发现问题，在发现问题解决问题的过程中，培养学生的学习兴趣，锻炼学生数学思维能力，提高教学质量。

参考文献

[1] （美）G.波利亚.怎样解题――数学思维的新方法[M].上海科技教育出版社，2007.

[2] 曹一鸣.中国数学课堂教学模式及其发展研究[M].北京师范大学出版社，2007.