地基沉降大变形有限元分析的几何刚度效应

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摘要：随着技术的发展，大变形有限元法在地基沉降分析中的应用也越来越广，几何刚度效应作为大变形有限元分析的基本概念。在本案，笔者简要阐释了大变形有限元法，并基于算例分析基础上，探析了地基沉降的几何刚度效应。

关键字：地基沉降 大变形有限元法 几何刚度效应

地基作为建筑工程的保障性工程之一，其施工质量将直接影响到上部建筑物的稳定性及使用寿命等，但因众多建筑工程地基为土性较差的软土地基，且因此引发沉降大变形的安全事故时有发生。地基沉降大变形势必会对建筑物造成直接性或间接性的影响，且修补工作难度系数相当大。在对地基沉降大变形分析方面，因连续介质大变形固结理论自身存在一定复杂性，则较具可行性的分析方法就属以有限元法为主的数值方法。在本案，笔者将从各个角度对地基沉降大变形有限元分析的几何刚度效应进行阐释。

一、大变形有限元方程与几何刚度效应

应用较为普遍的大变形控制方程及大变形有限原方程均基于士力学符号推导所得，相对于其他大变形控制方程及大变形有限原方程，由士力学符号推导而来的方程式未简化位移-应变几何关系，这一特征在几何刚度效应中发挥着不容忽视的作用。地基沉降大变形增量FEM函数式可表达为：

上述方程式中，――t时刻内总应力场等效节点力矢量；――有限元系统刚度矩阵； ――单元节点未知量矢量；――t+Δt时刻内面力与体力载荷等效节点力矢量；其中，满足函数式：（、）。

上述方程式中，――大变形应变转换矩阵；――几何刚度矩阵；――单元刚度矩阵；D――本构矩阵； M――应力矢量S相关分量建构的应力矩阵；G――形函数梯度矩阵。

由以上分析结果可得，若选用复杂性最低的线性次弹性本构关系所得大变形FEM增量方程组式亦为非线性，造成以上结果的原因在于属节点位移增量隐函数。对于某些忽略内非线性项的做法，其造成的误差也不小，则可以肯定的是将内非线性项忽略等效于将大位移造成的结构刚度变化忽略，且若将其应用于地基大变形沉降问题分析上更是不可取。相对于此，本案中提及的大变形控制方程及大变形有限原方程的精确性明显更高。

就力学意义而言，几何刚度矩阵于大变形FEM方程组内的作用体现为大变形条件下系统结构刚度受应力水平的影响程度，即几何刚度效应。为了使计算过程更加的简化，笔者通过引入系数μ，并得到如下方程式：

若μ=1，则表示严格考虑几何刚度效应；若μ=0，则忽略几何刚度效应；若μ=-1，则几何刚度矩阵取相反数。若大变形系统刚度函数表达式由士力学符号推导所得，之前存在一个“-”；而固体力学大变形系统刚度矩阵函数表达式内，之前存在一个“+”。以上现象出现的原因为应变度量及应力符号约定间存在差异性。

二、算例分析

（一）荷载-变形曲线与几何刚度效应

下图为压力荷载作用下的荷载-沉降量关系图。由图可以得出一个规律，即压力荷载作用下地基沉降量s随着荷载p变化而变化。图内SS表示小变形法的结果，FS表示为大变形法的结果。若地基土体变形小，SS与FS间差异较模糊，且μ值对大变形分析结果的影响程度也不明显，但不同μ值随着变形程度的加深而对大变形分析结果的影响不断上升。若将几何刚度矩阵μ=0忽略，则计算出的沉降量将比对几何刚度矩阵μ=1正确考虑的计算结果更小。针对某些学者提出将自修正迭代算法应用于大变形固结方程组内进行求解，及路基沉降量在1m―2m范围内时，几何刚度矩阵受到的影响较小的论断，下图均一一对其进行了科学验证。下图计算结果显示：几何刚度矩阵应考虑全面，且几何刚度矩阵的影响程度会随着变形程度的加深而扩大；若将几何刚度矩阵忽略，则地基大变形系统刚度会随之增加，其造成的影响为实际计算结果与刚硬更加接近。

（二）大变形计算本构关系与几何刚度效应

下图为小变形法与大变形法计算本构关系图：

备注：小变形法应变度量为工程应变、应力为Cauchy应力；大变形法应变度量为Green应变E11、应力为Kirchhoff应力S11。

由上图可知，简单的线性次弹性本构模型所对应的大变形应变与全量应变间的关系亦为非线性。通过对以上问题进行深入研究可得，本构关系曲线形态受到μ值的影响程度较小，且μ值仅对p-s曲线最终走向及应变值和应力最终大小造成影响，原因是变形量因条件不同而有所差异。

下表显示了以有限元分析结果为依据所得的小变形法原点各线压缩模量理论值及计算值。

由上表可得，压缩模量相对误差绝对值均

（三）不同率型本构关系与几何刚度效应

前文中笔者提及的大变形率型本构关系均属于Jaumann应力率，从某种程度上讲，其在实际应用中存在一定局限性。随着技术的发展，Truesdell应力率应运而生，研究结果表明，后者的客观性略强于强者。研究结果表明，若将领域变形忽略，Jaumann应力率可转化为Truesdell应力率。在本案，笔者将基于前人就 Jaumann 应力率与Truesdell应力率本构关系的研究基础上，探析Jaumann应力率及Truesdell应力率与几何刚度效应间的关系。

下图分别为Truesdell率型本构关系于不同μ值条件下的计算本构关系曲线图及大变形荷载-沉降变形曲线图。

（a）（b）

由图（b）可得，忽略几何刚度效应（μ=0）所引起的沉降计算结果将随着变形程度的加深而持续增加，且其所引起的变形结果刚硬度更强；若几何刚度效应于μ=-1条件下，其引起的计算偏差将略显著于其他条件下的计算偏差，此时的沉降值也最小。上述结论均在Jaumann率型几何刚度效应分析结果中得到了印证。

因几何刚度效应对大变形条件下系统结构刚度的影响程度较为明显，则在μ值不同、荷载水平相同的条件下，结构刚度沉降变形计算值将存在一定差异。

三、总结

就荷载-沉降曲线关系而言，若将几何刚度效应忽略或为妥善处理好几何刚度效应，其所引起的地基沉降计算结果将会略小于准确值，且计算结果刚硬度更强，其为实际工程中重要的不安全因素，则应得到更多的重视。Truesdell率型大变形理论所预测的最终沉降量符合Gibson理论完整解析解。Jaumann率型大变形法地基沉降预测结果比小变形法预测结果略大。需要注意的是，若没有妥善处理好几何刚度效应，大变形分析结构性质将因此受到很大的影响。

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