基于GARCH模型的动态VaR实证研究

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摘要：重点探讨了在波动的条件异方差对VaR估计造成影响的基础上，利用GARCH模型估计、预测股市动态VaR的方法，并基于上海证券交易所1 000个交易日的收益率进行了实证分析。分析结果表明，在95%的置信水平下估计失败次数仅有54次，失误率为0.54%，说明garch模型能够较为准确地反映沪市风险。

关键词：GARCH模型 动态var 股票市场收益率 波动集群性

中图分类号：F830.91 文献标志码：A文章编号：1673-291X（2011）28-0079-05

引言

20世纪90年代中期，国际金融市场上接二连三的金融风波，使得定量风险管理方法逐渐成为金融风险管理领域的焦点，其中又以风险价值模型（Value at Risk，VaR）的研究与应用最为醒目。经过数十年的研究，如今VaR方法已经作为一种较为成熟的方法，成为投资者、金融机构管理者和市场监管机构所面临的一个重要议题。

目前，金融系统中的VaR往往侧重静态VaR的计算。然而静态VaR没有考虑波动率的时变性，只是由前一时间段的整体波动率来预测下一时间段的波动率，本质上就是时间段内每个时点波动率的一个平均，因而在拟合和估计上存在较大的误差。相较于静态VaR，动态VaR考虑了波动率的时变性，下一时刻的波动率由前一时刻的波动率来预测，在整个时间段内波动率不是静止不变的，而是时刻在变化，因此其预测的准确性和及时性是静态VaR所不能比拟的。

一、VaR的基本含义

1.VaR的一般定义。VaR（Value at Risk）一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产（或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。具体而言，对于给定的置信水平及时刻t，对应的VaRt可以定义为：

prob（r>Vart）=1-α

其中，r表示证券资产在持有期内的损失，VaR称为在置信水平α下处于风险中的价值。

2.动态VaR的计算。VaR按是否考虑波动率的时变性分为静态VaR和动态VaR。动态VaR考虑了波动率的时变性，下一时刻的波动率由前一时刻的波动率来预测，这样就考虑了波动的时变性和序列的波动集群性，其预测的准确性和及时性，是静态VaR所不能比拟的。

动态VaR方法本质上是对证券组合价值波动的测量，其核心在于构造证券组合价值变化的统计分布。本文主要讨论VaR模型中有关波动率的估计方法。波动率的估计是VaR模型中所有参数估计方法最基本的步骤，目前常采用的VaR模型中估算波动率的方法主要有移动平均法、GARCH模型和隐含波动率法。由于移动平均法假设资产收益率的波动服从白噪声过程，这一假设往往与实际观察的结果不一致，而隐含波动率准则只能用于有期权产品的资产，因此本文采用GARCH模型计算对上证指数的收益率的VaR值。

动态VaR的具体计算步骤如下：

第一步，VaR计算公式的推导。

根据Jorion（1996）给出的定义，VaR可以定义为：

VaR=E（ω）-ω*（1）

式中，E（ω）为资产组合的预期价值，ω为资产组合的期末价值，ω*为置信水平α下组合投资的最低期末价值。进一步设：

ω＝ω0（1+r）（2）

式中，ω0为持有期初资产组合价值，R为设定持有期内资产的组合收益率，则得到：

ω*=ω0（1+rα）（3）

其中，rα为资产组合在置信水平α下的最低收益率。则根据数学期望的基本性质，将（2）、（3）式代入（1）式，有：

Var =E[ω0（1+R）]-ω0（1+rα）=ω0[E（R）-rα]

从公式中可以看出，若能求得置信水平α下的rα，就可求出相应的VaR值。又由于P（r>rα）=1-α，有：-Zα=■，故rα=Zασ+μ。将以上公式带入原式，可以得到Var=ω0Zασ■。

根据公式可以进一步得到VaR的递推公式：VaRt+1=■t+1+zα■t+1。

第二步，在正态分布和t分布的假定下，在用设定好的GARCH类模型拟合之后，得到GARCH模型中的参数，根据GARCH模型确定递推参数VaRt+1=■t+1+zα■t+1。

第三步，通过拟合的模型估计条件期望■t+1和条件波动性■2t+1。

第四步，将计算得到的条件标准差代入VaRt+1=■t+1+zα■t+1，并依次得到不同时刻的动态VaR值。

二、GARCH模型

GARCH模型又称为广义的ARCH模型，是Bollerslev（1985）在ARCH模型基础上提出的，更加精确地描述时间序列的尾部分布特征的白回归条件异方差模型，即GARCH模型。GARCH模型的方程的条件方差方程中增加了方差的滞后项，能更加灵活地体现滞后特征，其结构如下：

μt=f（t，μt-1，μt-2，…）+εt

σ2t=c+η1σ2t-1+η2σ2t-2+…+ηpσ2t-p+λ1ε2t-1+λ2ε2t-2+…+λqε2t-q

该模型简记为GARCH（p，q），f（t，xt-1，xt-2…）为{xt）的回归函数。GARCH模型实际上就是在ARCH模型的基础上，增加考虑了异方差函数的P阶自相关性。它可以更加有效地拟合具有长期记忆性的异方差函数。

三、基于厚尾分布的中国上证指数VaR研究

（一）数据的选取与分析

本文以上海证券交易所指数的收盘价（简称上证指数）为观察对象，采样间隔为天，时间跨度为2005年1月4日至2011年3月18日共1 501个交易日。收益率采用JP摩根集团的对数收益率概念rt=lnpt+!-lnpt计算每日收益率，由此得到容量为N=1 500的对数收益率数列{ri，i=1，2，…1 500}，图1给出了对应的指数收益率：

图1样本容量为1 500的上证指数对数收益率序列

由图1可初步看出该样本序列存在较大的波动性，并且存在明显的波动集群性，即方差在一定时段内变化比较小，而在另一时段内变化较大，与一般 ARCH模型族的特征吻合。在建立GARCH模型之前，仍需对该序列的统计特性进行进一步的研究，以确定该序列是否满足建立GARCH模型的条件。

1.正态性检验。利用Eviews软件得到对数收益率的直方图以及有关描述统计数据（如图2所示）。从图中可以看出，样本分布呈现出较为明显的尖峰厚尾特征。从有关的描述统计数据可得样本数据的均值为0.001739，标准差为0.019269，偏度为-0.358054，属负偏态分布，即对数收益序列左移。峰值为5.691729，远大于正态分布的峰值3，表面该分布有异于正态分布。

为进一步确定分布的尖峰厚尾特性，采用Quantile-Quantile（Q-Q）图对样本进行检验。利用matlab软件绘制对数收益率的Q-Q图（如下页图3所示）。从Q-Q图两侧的弯曲可知，散点图与直线有较大差距，说明上证综指的收益率分布跟正态分布还有一定的偏差，而由弯曲的形状可见该收益率的分布相比正态分布存在厚尾特性。

虽然为了实事求是地反映金融资产所暴露的风险情况并正确计算VaR，研究者们提出用稳态分布就是其中的一种，但由于所以稳态分布参数的估计非常困难，因此，大多数人只是把它作为理解市场的基础。近几年来的理论与实证研究都说明许多经济变量的时间序列，尤其是金融时间序列的非正态性都有着深厚的异方差根源，因此在这个前提下，我们采用ARCH模型族来反映收益的分布是合适的。

2.平稳性检验。由于非平稳的时间序列不利于进一步的统计分析，因此在尽量GARCH模型前需要对序列的平稳性进行检验，若检验结果为非平稳则需要对数据进行进一步的变换。

本文采用ADF法对序列进行单位根检验，由Eviews得到0阶差分的检验结果（如下页表1所示）：

从表1可知，对数收益率序列的ADF值均小于临界值，落在显著性水平的临界值外，且对应的P值均小于0.05，说明上证指数的对数收益率属于平稳序列，且该论断在5%的显著性水平下是可信的。因此可以采用该对数收益率序列建立时间序列模型。

3.自相关检验。利用Eviews软件对对数收益率序列计算自相关系数以及偏相关系数，取值后阶数为20阶，得到相关系数图的后20阶的自相关系数以及偏相关系数的绝对值都小于0.1，均未超出两倍界限，因此对数收益率序列基本不存在自相关。但从Q统计量的检验情况以及P值的情况来看，由于收益率与其滞后3阶、4阶的项在5%的显著性水平下存在自相关，因此对收益率{r}的均值方程可以采用如下形式：

rt=αrt-3+βrt-4+εt

利用Eviews软件建立AR（3），AR（4）模型，由于AR（3）模型中的参数没有通过显著性检验，因此建立AR（4）模型，其有关参数（见表2）：

表2AR（4）模型参数表

得到模型为：lnrt=0.0599lnrt-4+0.0005+ut。

4.ARCH效应检验。为进一步验证模型是否适合GARCH模型建模，需对样本数据残差进行ARCHL-LM检验，以检验原序列的残差序列是否存在ARCH效应。事实上，由图1已经可以看出，沪指在给定时期内的对数收益率在一段时间内波动大，在另一段时间内波动小，呈现出较为明显的易变性聚类的特点，表明很有可能存在条件异方差性（ARCH效应）。

为进一步验证这一性质的存在，利用Eviews软件对序列进行拉格朗日乘数法（LM）的ARCH效应检。检验结果表明，直到滞后6阶，上证综指的对数收益率均值方程的残差序列的ARCH-LM检验统计量的P值均小于0.05，表明在5%的显著性水平下样本的残差序列存在显著的条件异方差性。选取19阶滞后，得到ARCH检验结果（如表3所示）：

表 3ARCH检验结果

软件给出了两种检验结果：第一行的F统计量在有限样本情况下不是精确分布，只能作为参考；第二行是LM统计量Obs*R-squared值以及检验的相伴概率。本例中χ2检验的相伴概率p值为0.0000，小于显著性水平α=0.05，因此拒绝原假设，认为数据序列在5%的显著性水平下服从ARCH过程，且具有高阶的ARCH效应。据此我们可以对上证指数的对数收益率序列建立GARCH模型。

（二）GARCH模型的建立

1.ARCH模型的建立。由于存在ARCH效应，因此对1 500个交易日的上证指数收益率序列建立ARCH模型，Eviews软件运行结果如下：

表4均值方程参数

表 5方差方程参数

与采用OLS估计的分布滞后模型比较，新建立的ARCH（3）模型的LM检验表面该模型已不存在ARCH效应（新模型的ARCH效应检验的相伴概率为0.69），且模型中α1+α2+α3=0.098419+0.131515+0.204296=0.434213

rt=0.051857rt-4+0.001017+εt

σ2t=0.000224+0.098419σ2t-1+0.131515σ2t-2+0.204296σ2t-3

2.GARCH模型的建立。由于ARCH（3）属于滞后项阶数较高，因此可以考虑建立GARCH模型。利用Eviews软件得到运行结果如下：

表6均值方程参数

表 7方差方程参数

由于建立的GARCH（1，1）模型的条件方差等式中，系数α1+θ1=0.990389

rt=0.054585rt-1+εt

σ2t=4.11E-06+0.060701ε2t-1+0.929688σ2t-1

3.基于GARH模型的动态VaR的计算。利用初始VaR值以及基于GARCH模型得到的递推公式得到上证指数对数收益率序列的VaR值计算结果（如图4所示）：

图4为在5%的置信水平下，运用GARCH模型计算得到沪市指数每天VaR及对应的当天日收益率。理论上而言，由于VaR是风险价值，即当时损失的最大可能值因此VaR的绝对值应大于实际收益率的绝对值。从图中可以看出，总体来看建立的GARCH模型较好地估计了上证指数的风险程度，但在股市存在较大的实际波动时，存在低估风险的情况。那些实现收益率超过VaR估计的事件多发生在极端收益率出现较多的时期，这说明如果在风险管理中使用GARCH模型法估计VaR，在市场平静期由于得到了过于保守的VaR，所以实现收益率不会超过估计的VaR；但在市场动荡期，实现收益率超过VaR估计的可能性大于正常水平。

进一步计算1 000日上证指数的VaR数据得到置信水平为95%的情况下采用模型估计的VaR的最大值、最小值、均值、标准差等统计数据（如表8所示）：

从表8可以看出，采用GARCH模型估计上证指数VaR的标准差为2.105514，失误率仅为4.47%，其误差是比较小的，在可以接受的范围之内，说明利用GARCH模型计算的VaR值较好地反映了股市风险。

小结与展望

本文在实证中采用上证指数的对数收益率对基于GARCH模型计算动态VaR进行了研究，通过模拟收益率波动，定量的考察中国股市收益率的风险状况。通过上述分析，可以得出以下结论：（1）从数据的时间序列图可知，上证指数的收益率的波动非常频繁，并不稳定。（2）基于GARCH模型得到的VaR估计虽然事后检验的失误率也比较接近于理论水平，但是那些实现收益率超过VaR估计的事件多发生在极端收益率出现较多的时期，这说明如果在风险管理中使用GARCH模型法估计VaR，在市场平静期由于得到了过于保守的VaR，所以实现收益率不会超过估计的VaR，但在市场动荡期，实现收益率超过VaR估计的可能性大于正常水平，因而使用时需要谨慎。

此外，本文所用模型是在假设收益率分布为正态分布的情形下，从数据统计特征描述中可知，曲线分布存在尖峰厚尾现象，形态上与正态分布接近，但不是正态分布，与现实有一定的差距，可尝试在不同分布下进行计算。另外，本文只GARCH模型进行数据拟合，虽然能较好的拟合，但没有和其他的模型拟合进行比较，存在一定的模型风险，这些问题仍有待进一步的探讨。

参考文献：

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