物体末状态的研究

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摘要：物体的运动状态有开始、中间、末状态。对于问题的研究有时重点是开始，有时是中间过程，有时是末状态。对几个典型的末状态做了些研究，物体在运动过程中最终所处的运动状态是收尾状态，对运动状态的分析是解题的常用方法，收尾状态对解题也是至关重要的。

关键词：末状态；收尾；匀速运动

物体的运动状态有开始、中间、末状态。对于问题的研究有时重点是开始，有时是中间过程，有时是末状态。这篇文章对几个典型的末状态做了些研究，物体在运动过程中最终所处的运动状态是收尾状态，对运动状态的分析是解题的常用方法，收尾状态对解题也是至关重要的。现简单总结如下。

一、单个物体运动的收尾状态

1.静止状态

由于物体受到阻力等因素的影响，物体最终可能处于静止状态。这种收尾状态的特点是末速度、末动量、末动能为零，可以使用动力学、动量法、能量法等进行解题。这种情况是非常普遍的，这里不再赘述。

2.匀速直线运动状态

收尾状态为匀速直线运动状态时，常用平衡条件（合力为零）进行解题。有时结合其他条件列方程组求解。

例1.雨滴从高空下落，质量为m，所受阻力与速度成正比，f=kv，设下落时间足够长，求雨滴下落的最大速度。

解析：雨滴下落过程中受到重力和阻力作用。作加速度逐渐减小的变加速运动，当加速度减小到零时，速度达到最大，即收尾速度，求解此速度时根据合力为零得：

Mg=kv，得v

这就是雨滴下落的收尾速度，即最大速度。

例2.如图1所示，在铅垂面内有两金属导轨相距为L，与电动势为E、内阻r的电源相连，质量为m、电阻为R的匀质导体棒两端与两轨道相连，开始时导体棒静止，而后无摩擦地自由下落。设导轨足够长，其电阻可略，周围空间有匀强磁场，磁场强度为B，方向如图所示，垂直于轨道平面，试求导体棒的最大下落速度。

解析：导体棒下落时切割磁感线，产生感应电动势，方向与原电源相反，回路中产生感应电流，当导体棒受到安培力向上与重力平衡时，导体棒最终匀速下落。由合力为零得：

mg=BIL （1）

在闭合电路中I（R+r）=BLv—E （2）

联列解得v

3.匀加速直线运动状态

有些物体最终处于匀加速运动状态，这类问题一般先判断最终的收尾状态，然后使用牛顿第二定律，结合其他解题方法如动量法、能量法等列方程组求解。

例3.如图2所示，两根相距为L竖直放置的金属轨道MN和PQ的上端接有一个电容为C的电容器。质量为m的金属棒ab可以紧贴竖直导轨无摩擦滑动，且滑动中ab始终保持水平。整个装置处于磁场强度为B，方向与导轨平面垂直的水平方向的匀强磁场中，不计各部分的电阻，求最后通过电容器的充电电流大小。

解：此题先确定ab棒的收尾状态。若ab棒最终匀速下落，则产生恒定的电动势，则电容器两端电压不变，回路无电流，ab棒不受安培力而只受重力，显然不可能。

经分析得到，ab棒最终以恒定的加速度匀变速下落。

设最终通过电容器的充电电流为I，在时间Δt里电容器带电量的变化量为ΔQ。金属棒ab的速度变化量及电动势的变化量分别为Δv和ΔE。

则由牛顿第二定律 mg—BIL=ma （2）

联列得4.周期性的往复运动

有些运动收敛于周期性的往复振动或匀速圆周运动等。

例4.如图3所示，闭合的金属小线圈A用绝缘线悬于O点，线长L，有界匀强磁场相对于OO′对称，宽也为L，将小线圈由与O等高的位置释放，求小线圈运动过程中消耗的机械能（不计一切摩擦）。

解析：此题首先确定线圈的收尾状态。线圈并非收尾于静止状态，而是在磁场中来回摆动。

整个过程中，由能量守恒得

小结：收尾状态的分析对解题是非常重要的，这一点由上述例题可以看出。收尾状态不仅对单个物体，对系统也同样有收尾状态的问题。

二、系统的收尾状态

系统的收尾状态除了静止状态以外，还有以下几种常见情况。

1.系统一起做匀速直线运动

例5.如图4所示，金属棒P从高h处以速度v0沿光滑弧平行导轨下滑，进入轨道的水平部分后，在自下而上的垂直于导轨平面的匀强磁场中运动，磁感应强度为B。在轨道的水平部分原来静止的放着另一根金属棒Q，已知P、Q质量均为m，假设导轨足够长，求整个过程是回路消耗的电能。

解析：第一阶段，金属棒P沿光滑弧面下滑：

第二阶段，金属棒P进入磁场后，对P、Q系统，最终一起做匀速直线运动。由动量守恒得：

2.系统一起作匀加速直线运动

例6.如图5所示，金属棒ab、cd置于平行轨道MN、PQ上，可沿轨道滑动，轨道间距L=0.5 m，轨道所在空间有匀强磁场，磁感应强度为B=0.5 T，方向垂直于轨道平面，用力F=0.25 N向右水平拉杆ab，ab、cd与轨道接触光滑，导电良好，两杆质量分别为m1=0.2 kg，m2=0.3 kg，电阻R1=0.3 Ω，R2=0.2 Ω，求ab、cd间运动相对稳定时它们的速度差，此时加速度多大？

解析：金属棒ab、cd相对稳定时，两者加速度相等

F=（m1+m2）a （1）

对ab：F—BIL=m1a （2）

对cd：BIL=m2a （3）

在电磁感应中：BLΔv=I（R1+R2） （4）

联立解得：Δv=1.2 m/s，a=0.5 m/s2

3.在系统围绕质心作周期性往复运动

例7.如图6所示，A、B两物体用一根轻弹簧相连，放在光滑水平桌面上。已知A物体质量是B物体的一半，A物体左边有一竖直挡板，现用力向左推B物体压缩弹簧，外力做功为W。现撤去外力，A物体离开挡板后，求弹簧的最大弹性势能。

解析：第一阶段，弹簧第一次恢复原长过程，由机械能守恒得

第二阶段，弹簧第一次恢复原长后，A物体离开挡板，AB两物体围绕系统质心来回振动。当AB速度相等时，弹簧的弹性势能最大。由动量守恒得

由机械能守恒

联立解总之，物理题中出现收尾状态的情况是很多的，常见有以上几种。以后遇到此类问题可与上述例题进行类比，可能会得到很好的效果。解题切忌盲目做题，要注意总结归纳。希望以上几种收尾状态能对学生的解题有所帮助。

（作者单位 江苏省金坛市第四中学）