注重解题后的反思,提高教学效率

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在教学中我们常有这样的困惑：不仅是讲了，而且是讲了多遍，可是学生的解题能力就是得不到提高。也常听到学生这样埋怨，上课老师讲的都能听懂，可自己做的时候就是一点思路都没有，巩固题做了千万遍，稍微一变形就不认识了，已经在数学上花了很多时间，数学成绩却迟迟得不到提高。这不仅要引起学生反思自己的学习方法，也提醒教师反思如何引导学生学习数学，提高教学效率。诚然，出现上述情况的原因是多方面的，但其中的教学值得反思，数学的例题是知识由产生到应用的关键一步，即“抛砖引玉”，然而很多时候只是例题继例题，解后并没有引导学生进行反思，因而学生的学习也就停留在例题表层，出现上述情况也就不奇怪了。事实上，解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程。从这个角度上讲，教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。

由于学生认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于大量做题，不善于解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱、结构性较差。我去年教的高三物化班就有很多学生，看似很努力，买了很多参考资料，一有自主学习的时间就在看或做，收效甚微。我建议他们平时多花一些时间在已经做过的题目上，不管当时做对了还是错了，好好体会效果会更好。一道数学题经过一番苦思冥想解出答案后，必须认真进行如下探索：命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据、严密完善？本题有无其他解法——　一题多解？多题一解？通过解题后改进解题过程，探讨知识联系、知识整合，探究规律等一系列思维活动，这是解题过程中更高一级的思维活动。为了让学生思维继续飞翔，提高解题能力，应倡导和训练学生进行有效的解题反思。

一　在解题的方法规律处反思，举一反三、一题多解

“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变、一题多问、一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展大有裨益。

但这种解法是错误的。因为（1）（2）式的等号不能同时成立，所以（3）式等号不能取。教师应利用这一典型错误仔细分析，作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。引导学生进行反思，不再出现类似的错误。

这是我们平时比较常用的方法，有些同学也能够很快掌握这种方法。但认为已经完全懂了，就把它放在一边。其实难以达到提高解题能力、发展思维的目的。不能引导学生进行一题多问、一题多解，提高解题能力。

通过题目的一题多解，学生对该题的认识又进了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势；有利于培养学生思维的变通性和灵活性。一题多解，每一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法的技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷、最合理？把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系，又可巧妙转化和灵活运用。解题之后，我们对该题的了解已较深刻，这时若结合已求结果重新审视该题，有助于开拓学生思路、对所涉及的知识进行联系和区别，这样就可能另辟蹊径，找到更为合理、简捷的解题方法，甚至多种解法，从而活跃并拓宽解题思路，使思维向着多个方向发展。这样不仅找到了本题的解题捷径，而且对此类习题有了更深刻、更清晰的认识，为以后的学习奠定了良好基础，要不断地探究问题的知识结构和系统性。能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究？能否加强知识的横向联系？把问题所蕴含孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”。通过不断地拓展、联系，加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性。

二　在学生易错处反思，减少错误

学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果。我校也尝试在高三二轮复习中间穿插易错题的专题复习，效果显著。解数学题，有时由于审题不准确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免会产生错误，即学生解数学题，不能保证一次做到正确、完善。所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去。由此产生大量谬误，应引起重视，加以克制，引以为戒。如：（1）结论荒唐，引为笑柄；（2）以特殊代替一般；（3）臆造“定理”，判断无据，以日常概念代替科学概念。以上常见的错误，不胜枚举。由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生的重视。例如：求对数函数形式的复合函数的单调性，学生往往只将注意力放在单调性上，忽略了复合函数的定义域，造成结果错误。其实还是对函数单调性理解不够，要求函数的单调区间一定要先判断函数的定义域。单调区间一定是定义域的子集。再如在研究带有参数函数的问题时常需要根据参数的不同取值分类讨论，学生易犯考虑不完整的错误。在概念教学中概念不清，张冠李戴；在较复杂的问题中，思维不严密、不完整，往往遗漏一些情况；在运算量较大的题目中又暴露出运算能力弱的问题；做运算量较小的题目时又盲目乐观、马马虎虎，连简单的移项有时也会出现符号问题。面对这些错误，引导学生分析计算常出现哪些方面的错误？思路出现哪些错误？错误的原因有哪些？怎样克服这些错误？同学们各抒己见，针对各种“病因”开出了有效的“方子”。在师生纠错的过程中可以把问题理清楚，理解更深，加深印象，不易遗忘，在高考时就不会再错。

三　在情感体验处反思

因为整个解题过程并非仅仅是一个知识运用、技能训练的过程，而是一个伴随着交往、创造、追求和喜、怒、哀、乐的综合过程，是学生整个内心世界的参与。要让学生明白，问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题？它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发。将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问。让学生在不断的知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养学生的创造性思维非常有利。使学生既品尝了失败的苦涩，又收获了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦，他可能是独立思考所得，也有可能是通过合作协同解决，既体现了个人努力的价值，又折射出集体智慧的光芒。在此处引导学生进行解后反思，有利于培养学生积极的情感体验和学习动机；有利于激励学生的学习兴趣，点燃学习的热情，变被动学习为自主探究学习；还有利于锻炼学生的学习毅力和意志品格。在此过程中，学生独立思考的学习习惯、合作意识和团队精神均能得到很好的培养。

对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣。长期的积累，有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量。在新的课程理念下，教材的首要功能只是作为教与学的一种重要资源，但不是唯一的资源，它不再是完成教学活动的纲领性权威文本，而是以一种参考提示的性质出现，给学生展示多样和丰富多彩的学习参考资料；同时，教师不仅是教材的使用者，更是教材的建设者。鉴于此，教师备课时需反思所授内容以前的教学思路、教学设计及存在的问题，从而设置教学定位。这样，教师不仅提高对教材的驾驭能力，还可以在“课后反思”中作为专题内容加以记录，既积累经验又为教材的使用提供建设性意见，使教师、教材和学生成为课程中和谐的统一体。

总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感。长此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。

数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力。总之，解后的反思方法、规律能使学习和知识点得到及时的小结归纳；解后的反思使我们拨开迷蒙，看清“庐山真面目”而逐渐成熟起来；学生在反思中学会了独立思考，在反思中学会了倾听，学会了交流、合作，学会了分享，体验了学习的乐趣。