浅析由抛物线与直线形动点生成的几类问题
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抛物线与直线形问题是中考的压轴问题，也是考生面对的最棘手的问题。而解抛物线与直线形问题的关键之一是：把几何特征与代数意义相联系，并转化成为相应的计算，通俗地说，就是几何条件代数化，代数问题方程化。本文就解决抛物线与直线形三种类型问题作如下分析。
[例1] 如图，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠OAB＝90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB、AC相交于点M，OA=AB=4，OA=2CB.
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①线段OB的长为_______，点C的坐标为_______；②求OCM的面积；③求过O，A，C三点的抛物线的解析式；④若点E在③的抛物线的对称轴上，点F为该抛物线上的点，且以A，O，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。
解：①4■；（2，4）
②在直角梯形OABC中，OA=AB=4，∠OAB＝90°，CB//OA OMA∽BCM，又OA=2BC AM=2CM，CM＝■AC
SOCM＝■×■×4×4=■.
③抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）由抛物线的图像经过点O（0，0），A（4，0），C（2，4）
所以c=016a+4b+c=04a+2b+c=4 解得a=-1b=4c=0
故抛物线的解析式为：y=-x2+4x
④抛物线y=-x2+4x的对称轴是CD，x＝2.
a.当点E在x轴的上方时，CE和OA互相平分，则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为C（2，4）
b.当点E在x轴的下方时，点F在对称轴x＝2的右侧，存在平行四边形AOEF，OA//EF且OA=EF，此点F的横坐标为6，将x＝6代入 可得y＝－12，所以F（6，－12）同理点F在对称轴x＝2的左侧存在平行四边形OAEF,OA＝EF，OA//EF，此时F（－2，－12）综上所述，点F坐标为（2，4）（6，－12）（－2，－12）
[评析]分类讨论，对于本题前三问很好解决，第④问容易出错，出错原因可能存在两种情况：一是同学容易忽略对E点的分类讨论；二是学生可能把以A、O、F、E四点为顶点的四边形直接当作求平行四边形AOFE来求解问题，这是两个不同的概念，从而忽略对点F可能存在多种情况的讨论。解决这类问题的策略是：抓住动点E的运动轨迹，用运动的眼光看问题,要明确运动过程,通过选取图形运动变化过程中的某个瞬间进行讨论,用静止的图形性质反映动态的变化规律,将运动的元素当作静止来加以探讨。此外，还应注意图形的表达形式，明确概念，对于平行四边形问题应分清以哪两个字母所在线段为边或为对角线，进行分类讨论。
二、 由动点生成的面积问题
[例2] 如图示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x＝2交x轴于点E
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①求交点A的坐标及抛物线的函数关系式。
②在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由。
③连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1∶7的两部分？若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由。
解：①抛物线y=x2+bx+c与x轴交点B（3，0）其对称轴x＝2
0=9+3b+c2=-■ b=-4c=3
抛物线的函数关系式为：
y=x2-4x+3若抛物线与x轴相交，则x2-4x+3=0，x1=1 x2=3 抛物线与x轴另一交点A的坐标为（1，0）
②存在p1（2，3），p1（-2，3），p1（4，-3）
③存在。
设ybc=k1x+b1=将C（0，3）B（3，0）代入得：0=3k1+b13=b1解得：k1=-1b1=3 ybc＝-x+3
当x=2时，y=1 D（2，1） S梯形EDCO＝■×（3+1）×2=4 直线CQ分四边形两部分面积比为1∶7 两部分面积分别为：■×4=■，■×4=■，又SCOE＝3 可能有两种情况：
①两部分中左边是三角形右边是四边形，设直线CQ交x轴于点M，则SCOM＝■DM・OC=■OM×3=■ OM＝■ M（■，0） 过点C，M的直线为ymc=-9x+3，则ymc=-9x+3y=-x2+4x+3x1=0y1=3（舍） x2=-5y2=48 Q1=（-5，48）
b.两部分中左边是四边形右边是三角形，设直线CQ2交x＝2轴于点N，则SCON=■ND・OE=■×2・ND×3=■ N（2，■） 过点C，N的直线为yCN=-■x+3，则yCN=-■x+3y=x2-4x+3x1=0y1=3（舍） x2=■y2=-■ Q2=（■，-■）
综上所述合条件的点有两个Q1（-5，48） Q2（■，-■）
[评析] 这是综合性比较强的一道题，对②的解决就有一定的困难，可以采取前一道题讲解的方法，分别以AB为边或以AB为对角线的方法，然后利用平行四边形的相关性质来解决，本题主要探讨③的解决方法，对于③涉及的是面积问题，一般的解决面积问题都是把所给的图形转化成我们熟悉的特殊图形问题，例如：矩形、正方形、三角形（直角三角形或等腰三角形）的问题。③归结起来就是把一个直角梯形OEDC以C点画一条直线把其分成为1∶7两部分，把图形从整个坐标系中抽出来单独研究，就容易多了，而往往同学们总是受抛物线的影响而不知如何下手，导致无法解决这类问题。解决此类问题的策略是：审清题意，熟悉图形，分离图形和坐标系。
三、 由动点生成的最值问题
[例3] 如图，一元二次方程x2+2x-3=0的两根x1，x2（x1
①求此二次函数的解析式
②设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和Q的坐标。
③在x轴上有一动点M，当MQ+MA取最小值时，求M点的坐标。
解：①解方程x2+2x-3=0得x1=-3，x2=1 抛物线与x轴的两个交点坐标为C（－3，0）B（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x-1）
A（3，6）在抛物线上，6＝a（x+3）・（3-1)，a＝■ 抛物线的解析式为：y=■x2+x-■
②由y=■x2+x-■＝■（x+1）2-2 抛物线顶点坐标为（－1，－2）对称轴方程为：x＝－1，设直线AC的方程为：y=kx+b 把A（3，6） C（-3，0）代入得
3k+b=-6-3k+b=0 b=3k=1 直线AC的方程为：y=x+3 将x=-1 代入y=x+3 得y=2 Q点坐标为（-1，2）
③作A关于x轴的对称点A′（3，-6） 连接A′Q交x轴于点M即为所求的点，设直线A′方程为：y=kx+b 3k+b=-6-k+b=2 解得：b=0k=-2 直线A′Q∶y=-2x
令x=0，则y=0 M点坐标为（0，0）.
[评析] 解决③策略是作出点A关于x轴的对称点A′（3，-6）连接A′Q交x轴于点M，根据轴对称性质及两点之间线段最短可知MA+MQ的值最小，从而建立方程求出M点坐标。由于本题目是结合抛物线问题给出的图形比较复杂，同学往往更多的考虑抛物线问题，很难将此问题看成是简单的利用对称性求线段最短问题，所以师生在遇到这类问题时一定要加强引导学生分离图形的能力。
通过以上三个试题的分析解答，可以看出：解决这类问题一方面要用运动的眼光看问题，要明确运动过程，另一方面要引导学生分离图形的能力，将复杂的图形分解成简单的图形，正确运用分类讨论思想和方程的思想以及转化与化归的思想解决问题。要将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题化归为简单的问题，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。