二次函数综合题分类解析

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二次函数综合题涉及知识面广，考查的知识点多，求解方法灵活，因而常常被作为中考数学的压轴题.本文以2008年中考试题为例，对二次函数综合试题进行分类解析，供参考.

一、与一次函数相结合

例1 （大连市）如图1，直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点A（1，0），B（3，2）.

（1）求 m 的值和抛物线的解析式；

（2）求不等式 x2+bx+c＞x+m 的解集（直接写出答案）.

解：（1）因为直线 y=x+m 经过点A（1，0），

所以0=1+m，所以 m=-1，即 m 的值为-1.

因为抛物线 y=x2+bx+c 经过点A（1，0），B（3，2）.

所以0=1+b+c，2=9+3b+c.

解得b=-3，c=2.

所以二次函数的解析式为

y=x2-3x+2.

（2） x>3 或 x

二、与反比例函数相结合

例2 （云南省）已知，在同一直线坐标系中，反比例函数 y=5x与二次函数 y=-x2+2x+c 的图象交于点A（-1，m）.

（1）求 m、c 的值；

（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.

解：（1）因为点A在函数 y=5x的图象上，

所以 m=5-1=-5，所以点A坐标为（-1，-5）.

因为点A在二次函数图象上，

所以-1-2+c=-5，

所以 c=-2.

（2）因为二次函数的解析式为

y=-x2-2x-2，

所以 y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1.

所以对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（1，-1）.

三、与一次函数和反比例函数相结合

例3 （呼和浩特市）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则直线 y=ax+b 与反比例函数 y=acx，在同一坐标系内的大致图象为（ ）

解：由二次函数的图象可得 a＜0，c＞0，对称轴 x=-b2a＜0，故 b＜0.直线 y=ax+b 应经过第二、三、四象限；双曲线 y=acx应在第二、四象限.故选（B）.

四、与一元二次方程相结合

例4 （天津市）已知抛物线 y=3ax2+2bx+c.

（1）若 a=b=1，c=-1，求该抛物线与 x 轴公共点的坐标；

（2）若 a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围；

（3）若 a+b+c=0，且 x1=0时，对应的 y1＞0；x2=1时对应的 y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与 x 轴是否有公共点？若有，证明你的结论；若没有，阐述理由.

解：（1）当 a=b=1，c=-1时，抛物线为

y=3x2+2x-1，

方程 3x2+2x-1=0的两个根为 x1=-1，x2=13，所以该抛物线与 x 轴公共点的坐标是（-1，0）和（13，0）.

（2）当 a=b=1时，抛物线为 y=3x2+2x+c，且与 x 轴有公共点.

对于方程3x2+2x+c=0，判别式Δ=4-12c≥0，有 c≤13.

①当 c=13时，由方程3x2+2x+13=0，解得 x1=x2=-13，此时抛物线为 y=3x2+2x+13与 x 轴只有一个公共点（-13，0）.

②当 c＜13时，x1=-1时，

y1=3-2+c=1+c，

当 x2=1时，y2=3+2+c=5+c.

由已知-1＜x＜1时，该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点， 考虑其对称轴为 x=-13，应有

y1≤0，y2＞0.

即1+c≤0，5+c＞0，

所以-5＜c≤-1.

综上，c=13或-5＜c≤-1.

（3）对于二次函数 y=3ax2+2bx+c，由已知 x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0.

又 a+b+c=0，

所以3a+2b+c

=（a+b+c）+（2a+b）

=2a+b.

于是 2a+b＞0，而 b=-a-c，

所以2a-a-c＞0，

即 a-c＞0，所以 a＞c＞0.

因为关于 x 的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式

Δ=4b2-12ac

=4（a+c）2-12ac

=4［（a-c）2+ac］＞0，

所以抛物线 y=3ax2+2bx+c 与 x 轴有两个公共点，顶点在 x 轴下方.又该抛物线的对称轴 x=-b3a，

由 a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，

得-2a＜b＜-a，

所以13＜-b3a＜23，

又由已知 x1=0时，y1＞0；x2=1时 y2＞0，观察图象可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与 x 轴有两个公共点.

五、与二次函数相结合

例5 （江西省）已知如图5所示的两条抛物线的解析式分别是 y1=-ax2-ax+1，y2=ax2-ax-1（其中 a 为常数，且 a＞0）.

（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；

（2）当 a=12时，设 y1=-ax2-ax+1与 x 轴分别交于M，N两点（M在N的左边），y2=ax2-ax-1与 x 轴分别交于E、F两点（E在F的左边），观察M，N，E，F四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；

（3）设上述两条抛物线相交于A，B两点，直线L，L1，L2都垂直于 x 轴，L1，L2分别经过A，B两点，L在直线L1，L2之间，且L与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值.

解：（1）答案不唯一，只要合理即可.例如：

①抛物线 y1=-ax2-ax+1开口向下；或抛物线 y2=ax2-ax-1开口向上；

②抛物线 y1=-ax2-ax+1的对称轴是 x=-12，或抛物线 y2=ax2-ax-1的对称轴是 x=12；

③抛物线 y1=-ax2-ax+1经过点（0，1）或抛物线 y2=ax2-ax-1经过点（0，-1）.

④抛物线 y1=-ax2-ax+1与 y2=ax2-ax-1的形状相同，但开口方向相反；

⑤抛物线 y1=-ax2-ax+1与 y2=ax2-ax-1都与 x 轴有两个交点；

⑥抛物线 y1=-ax2-ax+1经过点（-1，1）或抛物线 y2=ax2-ax-1经过点（1，-1）；等等.

（2）当 a=12时，y1=-12x2-12x+1，

令-12x2-12x+1=0，

解得 xM=-2，xN=1.

y2=12x2-12x-1，

令 12x2-12x-1=0，

解得 xE=-1，xF=2.

①因为 xM+xF=0，xN+xE=0，所以点M与点F对称，点N与点E对称；

②因为 xM+xF+xN+xE=0，所以M，N，E，F四点横坐标代数和为0；

③因为MN=3，EF=3，所以MN=EF（或ME=NF）.

（3）因为 a＞0，所以抛物线 y1=-ax2-ax+1开口向下，抛物线 y2=ax2-ax-1开口向上.根据题意得

CD=y1-y2=（-ax2-ax+1）-（ax2-ax-1）=-2ax2+2.

所以当 x=0时，CD的最大值是2.

六、与三角形相结合

例6 已知：如图6，抛物线 y=ax2-2ax+c（a≠0）与 y 轴交于点C（0，4），与 x 轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线 l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意，得

0=16a-8a+c，4=c.

解得a=12，c=4.

所以所求抛物线的解析式为

y=-12x2+x+4.

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EGx 轴于点G.

由-12x2+x+4=0，得 x1=-2，x2=4.

所以点B的坐标为（-2，0），

所以AB=6，BQ=m+2.

因为QE∥AC，

所以BQE∽BAC，

所以EGCO=BQBA，即EG4=m+26，

所以EG=2m+43.

所以SCQE=SCBQ-SEBQ

=12BQ・CO-12BQ・EG

=12（m+2）（4-2m+43）

=-13m2+23m+83

=-13（m-1）2+3.

又因为-2≤m≤4，所以当 m=1时，SCQE有最大值3，此时Q（1，0）.

（3）存在.

（Ⅰ）若DO=DF，因为A（4，0），D（2，0），

所以AD=OD=DF=2.

又在RtAOC中，OA=OC=4，

所以∠OAC=45°,

所以∠DFA=∠OAC=45°,

所以∠ADF=90°,此时,点F的坐标为(2,2).

由-12x2+x+4=2，

得 x1=1+5，x2=1-5.

此时，点P的坐标为：

P（1+5，2）或P（1-5，2）.

（Ⅱ）若FO=FD，过点F作FMx 轴于点M，由等腰三角形的性质得

OM=12OD=1，所以AM=3.

所以在等腰RtAMF中，MF=AM=3，所以F（1，3）.

由-12x2+x+4=3，得

x1=1+3，x2=1-3.

此时，点P的坐标为：

P（1+3，3）或P（1-3，3）.

（Ⅲ）若OD=OF，

因为OA=OC=4，且∠AOC=90°,

所以AC=42.

所以点O到AC的距离为22，而OF=OD=2＜22，此时，不存在这样的直线 l，使得ODF是等腰三角形.

综上所述，存在这样的直线 l，使得ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为：

P（1+5，2）或P（1-5，2）或P（1+3，3）或P（1-3，3）.

七、与四边形相结合

例7 （长春市）在直角坐标中，抛物线 y=x2+bx+c 经过点（0，10）和点（4，2）.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图7，在边长一定的矩形ABCD中，CD=1，点C在 y 轴右侧沿抛物线 y=x2+bx+c 滑动，在滑动过程中CD∥x 轴，AB在CD的下方，点D在 y 轴上时，AB落在 x 轴时.

（1）求边BC的长.

（2）当矩形ABCD在滑动过程中被 x 轴分成两部分的面积比为1∶4时，求点C的坐标.

解：（1）由已知，得

c=10，16+4b+c=2，

所以b=-6，c=10.

所以 y=x2-6x+10.

（2）①因为CD=1，点D在 y 轴上，所以点C的横坐标为1.

在 y=x2-6x+10中，当 x=1时，y=5，所以边BC的长为5.

②因为矩形边长一定，所以BC=5.

当矩形ABCD在 x 轴上方部分的面积占这个矩形面积的15时，因为BC=5，所以点C的纵坐标为1，

所以 x2-6x+10=1，

即 x2-6x+9=0，

所以 x1=x2=3，所以C1（3，1）.

当矩形BCD在 x 轴上方部分的面积占这个矩形面积的45时，

因为BC=5，所以点C的纵坐标为4.

所以 x2-6x+10=4，

即 x2-6x+6=0，

所以 x1=3+3，x2=3-3.

所以 C2（3+3，4），C3（3-3，4）.

八、与圆相结合

例8 （乌鲁木齐市）如图8，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交 x 轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过A，B，且其顶点P在C上.

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）作CHx 轴于H.

因为CH=1，半径CB=2，

所以∠BCH=60°，

所以∠ACB=120°.

（2）因为CH=1，半径CB=2，

所以HB=3，故A（1-3，0），B（1+3，0）.

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）.

设抛物线解析式为 y=a（x-1）2+3，把点（1+3，0）代入上式，解得 a=-1.

所以 y=-x2+2x+2.

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形.

所以PC∥OD且PC=OD.

因为PC∥y 轴，所以点D在 y 轴上.

又因为PC=2，所以OD=2，即D（0，2）.

又D（0，2）满足 y=-x2+2x+2，所以点D在抛物线上，所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分.

（初三）

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