《计数原理》解题中的七宗错
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《计数原理》在中学数学中是较为独特的，是发展我们抽象能力和逻辑思维能力的好素材，类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择在教学中同学们常见的七种错误进行正误解析，相信对初学者会有帮助.
易错点1
对(a+b)n的展开式及通项公式理解不透，掌握不牢.
例1 (x+a)12展开式中的第三项为 .
易错点分析
有的同学会把Crnan－rbr是误以为是展开式的第r项，从而得到第三项为C312x9a3=220x9a3，或者是把a与x的顺序颠倒而得到T3=T2+1=C212a10x2=66a10x2.
正解
T3=T2+1=C212x10a2=66x10a2.
点拨
(a+b)n=C0nan+C1nan－1b+…+Crnan－rbr+…+Cnnbn (n∈N*)，要注意(a+b)n展开共有n+1项，展开式的每一项中a与b的幂指数的和都是n，等于该项系数中的组合数的下标，而b的幂指数与系数中组合数的上标一致．通项公式Tr+1=Crnan－rbr是展开式中的第r项．二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分，不要因a与b的顺序颠倒而出错．
易错点2
展开式中的项的系数与二项式系数的概念混淆.
例2 在x－2x9的展开式中，x3的系数为 ，二项式系数为 ．
易错点分析
有的同学会把项的系数与二项式系数混为一谈，或在求项的系数时出现计算或符号的失误．
正解
Tr+1=Cr9・x9－r・－2xr=(－2)rCr9x9－2r，Cr9是二项式系数，(－2)rCr9是项的系数．令9－2r=3，得r=3，则x3项的系数为(－2)3C39=－672，二项式系数为C39=84．
点拨
二项展开式中，第r+1项的二项式系数是专指展开式中的组合数Crn，而系数与一般多项式中项的系数概念没有任何两样，指的是项中的数字因式，通常要通过计算求得，可以为负．
易错点3
二项式系数最大项与展开式系数最大项问题，往往因为概念不清或方法有误而导致出错.
例3 （1）(a+b)n展开式中，第6项的二项式系数最大，则n= .
易错点分析
由题意得第6项是最中间的项，展开式共有11项，所以n=10.此种做法忽略了中间项可以有2项的可能，导致漏解．
正解
n=9， 10， 11．由题意得第6项的二项式系数最大．n为偶数时，展开式有奇数项，中间项为第6项，展开式共有11项，则n=10；n为奇数时，展开式有偶数项，中间项有两个：中间项为第5项和第6项，展开式共有10项；中间项为第6项和第7项，展开式共有12项，则n=9或11．
点拨
二项展开式的二项式系数最大的项即二项展开式的中间项，有两种情况：当n为偶数时，中间项只有一项；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，同时取得最大值．给出某一项是二项式系数最大，往往要对n的奇偶性进行讨论．
(2) 求x+2x28展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
易错点分析
某同学的错解：第五项的二项式系数最大，系数最大的项为第6，7项．题目是要求最大的项，而不是第几项，此为求解不彻底，答非所问；还有的同学是对系数的最大项的求解方法有困难．
正
解 由n=8知展开式有9项，第五项的二项式系数最大，所以二项式系数最大项为T5=1120x－6．设展开式中第r+1项的系数最大，则Cr－18・2r－1≤Cr8・2r,
Cr+18・2r+1≤Cr8・2r.解得：5≤r≤6. 所以系数最大项为：T6=1792x－172， T7=1792x－11.
点拨
（1）根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大，要注意对n的分类．（2）在(a+b)n的展开式中，系数最大的项是中间项，但当a与b的系数不为1时，最大系数值的位置不一定在中间．求展开式中系数最大项的步骤是：先假定第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，分别列出不等式，通过求解不等式组来确定之．
易错点4
混淆二项式系数和与各项系数和这两个不同的概念.
例4 求(2x－5y)20展开式中二项式系数的和及各项系数和．
易错点分析
将两类系数和搞混淆，答非所问．
正解
二项式系数的和为C020+C120+C220+…+C2020=220.
令x=1, y=1，得各项系数和为(2－5)20=320.
点拨
（1）(a+b)n展开式中二项式系数的和为2n，(ax+by)n展开式中二项式系数的和也为2n．（2）求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如(a+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn展开式中各项系数和，可令x=1，即得各项系数和a0+a1+a2+…+an，若求奇数项的系数和或偶数项的系数之和，可分别令x=1， x=－1，两等式相加或相减再除以2即可求出结果．
易错点5
对于排列组合问题，不能分清是否与顺序有关而导致方法出错.
例5 有六本不同的书平均分成三组，每组2本，共有 种不同的分配方式．
易错点分析
分三步取，每步取2本，有C26・C24・C22=30种方法，这里出现了重复．不妨记六本书为A, B, C, D, E, F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB， CD， EF），则C26・C24・C22中还有（AB， EF， CD），（CD， EF， AB）（CD， AB， EF），（EF， CD， AB），（EF， AB， CD）共A33种情况，而且这些情况仅是AB， CD， EF顺序不同，因此只能作为一种分法．
正解
分配方式有C26・C24・C22A33=15种.
点拨
有关分组与分配的问题，是一类极易出错的题型，对于此类问题的关键是搞清楚是否与顺序有关，分清先选后排，分类还是分步完成等，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计算重复或遗漏．
易错点6
分步与分类的策略方法选择不当，导致重复计数.
例6 （1） 在100件产品中有次品3件，正品97件，从中抽取4件，问至少抽得一件次品的方法数是 ．（列式）
易错点分析
学生常见错解：从3件次品中抽取1件，再从余下来的2件次品和97件正品（共99件）中任意抽取3件，即C13・C399．上述解法是一种正确的“操作”，但得到的是错误的答案，因为抽法违背了分步原则，因而不能用由计数原理推得的组合数公式．此类出现“至少”、“至多”等条件的问题，一般采用先分类后分步，或排除法．
正解
方法一是分成3类：抽取1件、2件、3件次品；然后每一类分两步：先抽次品，再抽正品，得到C13・C397+C23・C297+C33・C197；方法二是排除法：C4100－C497.
(2) 把4封不同的信投入3个不同信箱，每个信箱至少投入一封信，有 种不同的投法．
易错点分析
可以看作分2步完成：第1步，从4封信中任取3封，投入3个信箱，每个信箱投入一封，不同方法的种数是A33；第2步，把剩下的1封信投入3个不同的信箱中的1个信箱，不同投法种数为A34・A13=4×3×2×3=72（种）.
按上面的算法，所有投法都被重复计算了一次．因为“先投A， B， C这3封信，再把D这封信投入A所投的信箱”与“先投D， B， C这3封信，再把A这封信投入D所投的信箱”是同一种投法．所以所求的投法种数为12A34・A13=12×72=36.
正解
第一步把4封信分成3组，1组2封，其余每组1封，共有C24种不同的分法；第二步把3组信分别投入3个不同的信箱，共有A33种不同的投法．根据分步计数原理，所求的不同投法种数为C24A33=36（种）．
点
拨 对于较复杂的问题，我们可以按分步或分类，把它分解为若干个简单问题，分别求出排列组合数，然后运用分步计数原理和分类计数原理求出最终结果，但分类要注意类与类之间的不重不漏，分步要注意步与步之间的独立性、连续性，要尽可能避免重复计数．
易错点7
背景知识欠缺，导致出错．
例7 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环比赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜的角逐冠亚军，败者角逐3， 4名，大师赛共有 场比赛．
易错点分析
对题目的背景知识了解太少，不懂什么是单循环．在体育比赛中，单循环是指每两人之间打一场比赛，小组赛结束通过积分排名次，因此4人中选两人没有顺序，故用组合数．
正解 C24+C24+2+1=15.
点拨 我们要拓宽知识面，关注热点，不要读死书，有时候功夫在题外．
1 假期中小组的10名同学都分别给其他同学写一封信，则共有 封信．开学时，同组同学见面分别握一次手，共握手 次．
2 从4名男生与3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 种．
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有 种不同的分配方式．
4 (x+a)12展开式中的倒数第三项为
5 x－23x2n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为 ．
6 如果3x－13x2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是 ．
1 90，45. 2 186. 3 C26C24C22=90.4 66x2a10.
5 －672x．椐题意有：C2n・22－－C1n・2=162，得n=9，则Tr+1=Cr9x9－r－23x2r，由9－r2－2r3=1, 所以r=3， 所以T4=－13・23・C39x=－672x.
6 21．令x=1得n=7， Tr+1=Cr7(3x)7－r(－1)r(x－23)r=Cr737－r・(－1)rx7－53r， 所以7－53r=－3，r=6，T6+1=C6737－6(－1)61x3=7×3×1x3=21x3，故1x3的系数为21.