分数除法题:另类的算法,更有说服力的算理

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小学数学要学习一种很重要的数——分数，其教学价值和实用价值都非常明确。从三年级学习分数开始，有很多知识点要学，“分数的基本性质”就是其中之一。很多六年级毕业生都会觉得分数的基本性质很有意思，但好像就在通分、约分、分数大小的比较中需要使用，其他方面几乎用不到，看起来很可惜。那这个基本性质还有用吗？还能在哪里可以继续使用上呢？

笔者开始留心与分数有关的知识点。

我们来看看分数的除法。苏教版数学第11册第四单元是“分数除法”，第一课时就是分数除以整数。

例1：有■升果汁，平均分给2个小朋友，每个小朋友可以分到多少升？

以下是教学片段：

师：你们能自己算出每个小朋友分到的果汁量吗？

孩子们通过看图、分析都发现■÷2=■（升）。

当然，几乎没有人主动想到用■×■，除非老师启发：还有其他方法吗？这时不能责怪学生，因为这里用除法更直接、更自信。学生们还会想到把分数化成小数变成0.8÷2等一些不同的方法。然后让学生把■÷2=■=■、■÷2=0.8÷2=0.4、■÷2=■×■=■等几种不同的方法放在一起比较。

师：同学们，哪些方法有局限性？

学生发现第一种、第二种方法会遇到不能整除甚至不能除尽的情况，而第三种方法可以通用。对呀！这时，老师立刻写出一题■÷3，“你们用第一种方法算算吧！”结果学生马上脱口而出：4不能被3整除！

师：那你们准备怎么算这道题？

很多学生都用第三种方法来计算。

师：真的只有一种方法吗？

学生们开始思考。一会儿，就有学生说：我可以把■化成■，再用■÷3，就可以用第一种方法了。

……

我很高兴。在我对分数除法这单元的研究中，使用分数的基本性质几乎可以让所有类型的分数除法题——分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数都能有个合理的、学生可以接受的解释。这题就是从学生原有的知识经验里更好地理解了■÷3为什么等于■，而另一种解释“求■的■”则作为一种新的解释原理在不断充实、不断更新（但仍不能主动沟通学生原来对除法的理解）。

好的，所有分数除以整数的题目，我们都可以在运用了分数的基本性质、改变分数分子和分母的数值后使用“分数的分子除以整数的商做分子，分母不变”这种方法来解决了。

下面我们来看看整数除以分数这种类型的题目。仍然用书中的例2：李老师把4个同样大的橙子分给幼儿园小朋友。每人吃■个，可以分给几人？

先看第一个问题的例示：4÷■，这个算式要求4里面有几个■。学生通过现实经验、画图感知、简单推理，能用教材中呈现的两种思路来解决：每人吃■个（半个）橙子，4个橙子可以分给8个人；1个橙子分给2个人，4个可以分给8个人。但如果这时被除数和除数的分数单位相同的话，不就可以更清楚地表现出“8个人”了吗？所以我们也可以把4化成■，要求4里面有几个■，就是求■里面有几个■，那么4÷■=■÷■=8。

继续来看例3：4米彩带，每■米剪一段，可以剪成多少段？

学生列式：4÷■，也可以化成■÷■来计算，就是求■里面有几个■。用这种方法不仅很容易让学生发现■里面有6个■，还更容易沟通4÷■=6，是4×3÷2，3÷2就是■。

如此类推，分数除以分数仍可以用这种方法来计算、推理。

最后，笔者想说的是，分数除法题很容易算，但算理很不容易被理解，这就是一个数学教师最应该做的事。