寓辩证的观点于数学教学中

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恩格斯在《自然辩证法》中指出：“数学是辩证的辅导工具和表现形式。”数学中的许多方法都是伴随着生产实践与科学技术的发展而产生的。数学中的许多概念、法则、公式、定理、公理等，都是从客观事物和现象中通过高考抽象、概括而得出来的。故教学中处处充满了辩证唯物主义的思想因素。因此，教师在教学过程中应有意识地向学生逐步渗透辩证的观点：

1. 普遍联系的观点 辩证法认为：事物是不断变化的，每个事物与其他事物之间都存在一定联系。

例如：在初中代数和和几何基本是分家的。在解析几何中，则将几何图形问题转化为平面上点的坐标之间的代数关系来研究。即用代数方法的讨论，来研究几何图形的性质。如：根据两直线的斜率、截距的情况来判定这两条直线是相交、平行还是重合；通过讨论直线与曲线方程所组成方程组的解的情况来判定直线与曲线相交、相切、相离的情况等等。这就把初中阶段原来认为相互割裂的两个问题统一起来。这就反映出，曲线的方程（“形”与“数”）两者之间的客观联系。

又如二次三项式ax2+bx+c、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。一元二次不等式ax2+bx+c0）和二次函数y=2ax2+bx十c虽然分属于代数式、方程、不等式、函数四个知识体系，但这四者之间又依一定的逻辑关系相互贯通。

2. 相互转化的观点 数学相互转化关系在数学中是随处可见。“加与减、乘与除”是相互对立的两对矛盾的关系，但双方在一定条件下可以向对方转化。在引入相反数的条件下减法可以向加法转，在引入倒数的条件下除法可以向乘法转化。

在解析几何中圆、椭圆、双曲线、抛物线在一定条件下可互相转化。如椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）若使a保持不变，让两焦点F1.F2的距离越来越小，那么椭圆就接近于圆。一旦两焦点重合即|F1F2|=0时离心率e=0，椭圆就变成了圆x2十y2=a2（a>0）。另外，从点的集合的观点来看。陈圆以外，另外三种曲线都是与定点和定直线距离的比是常数的点的集合。只是由于离心率e的不同而分为椭圆、双曲线和抛物线。

又如：立体几何中圆柱、圆锥、圆台，如果圆台的上底面的周长逐渐增大，一直增大到和下底面周长相等，则圆台转化为圆柱；反之如圆台的上底面周长逐渐减少，一直减到零则上底面变成一个点，圆台转化为圆锥。三者侧面积公式如下图1示。

同时在教学过程中，注重用转化的方法来培养学生解决问题的能力。如运用换元的方法将无理方程化为有理方程；通过坐标法将“数”“形”相互转化；通过辅助线、辅助面把空间问题转化为平面问题等等。通过对各个可相互转化事物的分析，使学生在数学教学中牢固树立并灵活运用转化的思想。

图13. 运动的观点 恩格斯曾指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学……”

解析几何中不但要研究图形的性质，还要研究图形的形成过程。把图形（曲线）看作由一个动点按某种规律来运动的轨迹。在讲课中应绐学生具体演示画图。用一段细绳一端拴上粉笔，另-端在定点固定，把绳子拉紧。使粉笔绕定点旋转画出圆；用两个图钉把绳两端固定（绳长大于两点间距离）用粉笔把绳子拉紧运动。可画出椭圆。双曲线、抛物线都可作如上演示画图。这样就使学生直观而清楚地认识到，这些曲线是某动点按某种规律运动的轨迹。

4. 理论与实际相结合的观点 理论来源于实践，又服务于实践。这是辩证唯物主义的一个重要观点。例如：在学习均值定理 a+b2 = ab （a>0，b>0）求最值的问题时，为了让同学们更为熟练的掌握。可举一实例：“有32厘米长的一根铁丝。想围成一个矩形小框。试问：当矩形的长、宽各为多少时，围成的矩形的面积最大？最大值是什么？“又如：在学习排列组合的时候，为了让同学们较为深刻的理解排列数与组合数公式，可找出5名同学站在讲台上。问这5名同学站在一排可照出几种不同的照片？这五个人分成不同的学习小组有几种分法……等等；数学中的应用题都是用数学的论证来解决实践中的问题。

另外，辩证法中否定之否定规律在数中的实例也是无处不在。如：负负为正；集合中的双重否定定律；集合补集的补集是它本身；在形式逻辑中，同一领域互相矛盾的概念等等。

数学不仅在其内容上蕴含着丰富的唯物主义辩证思想，而且在解题方法上更是处处闪耀着辩证思想的火花。因此，运用辩证的观点去组织教学，不但能帮助学生对教材的理解，学会正确运用教材解决实际问题，而且还能做到融会贯通，使学生学会分析问题、解决问题的方法，提高教学质量。