善用坐标突破难点

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【摘要】从操作层面，结合具体问题情境，介绍用坐标系解决相遇问题、相对运动问题及连接体问题的优势，并给出具体的解题思路，使问题的解决简单易行。

【关键词】坐标系 相遇问题 相对运动 连接体 隐含条件的表述

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0151-02

力学是理工科学生进入大学后最先接触到的一门课程。学生在学习过程中不仅要加深对理论的认识和理解，还要学会解决更复杂更一般的问题。在多年教学中，通过与学生课堂交流及作业批改发现：在大学期间，学生们在解决问题时习惯用高中的方法及思路去解决，而排斥用大学教学中引入的坐标系统进行求解，从而造成题设条件不能正确使用，隐含条件不易挖掘等情况，影响学生顺利解决问题，产生力学难学、丧失信心的畏难情绪。为此，我在内容教学中突出坐标系的重要性，例题讲解中强调建立坐标系、列出对应的运动方程或动力学方程，结合隐含条件进行求解的解题思路，引导学生逐步接受并习惯用坐标法求解问题。

1.将相遇问题引入坐标系中

相遇问题是运动学中比较复杂的一类问题。在中学阶段，学生只会用位移的方法求解。寻找相遇时的条件是解决此类问题的关键。当两个质点既不同时又不同地出发时，学生就会感觉非常棘手。若引入坐标系，列出各质点在同一坐标系下的运动方程，相遇的条件就会非常简单。当物体同时运动到同一地点时相遇，用坐标表示即为坐标值相等。这样的条件表述简洁明了。

[例1]在同一竖直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0被抛出。求两石子何时何处相遇？

解：令低处的石子为质点1，高处的石子为质点2，以质点1抛出的位置为坐标原点，竖直向上建立ox坐标系，以质点1的抛出点为计时起点，则

质点1的运动方程为：

质点2的运动方程为：

总结解题步骤：（1）建立坐标系，（2）列出各质点的运动方程，（3）表示相遇条件，（4）解方程组。

2.用坐标法求解相对运动问题

飞机在空中飞行的问题是许多学生感觉非常头疼的问题。其原因是：一、飞机飞行过程中空间位置不断变化，二、飞机在空中的飞行是在空气这种介质中运动，飞机存在相对于空气的速度，还有飞机相对于地面的速度，由于空气看不见，所以学生往往分不清哪个是飞机相对于地面的速度，哪个是飞机相对于空气的速度。这种问题与轮船的航行属于一类问题。但轮船是在水中航行，水的流动比空气更易观察，因此学生比较容易认识和接受。他们的共同点是都存在相对速度与绝对速度。其中船身或机身的指向均为相对速度方向，而空气或水的流速为牵连速度。在求解这类问题时三个速度均为矢量，将他们引入坐标系中方便矢量关系的表示。

[例2]飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西成15°角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正北夹45°角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。

解析：当空气不运动时，则机身指向哪个方向，飞机便朝那个方向运动。此时飞机相对于空气的速度与其相对于地面的速度相同。当空气以一定的速度运动时，即在刮风，表明空气也在运动，则飞机对地面的速度应该是飞机在静止空气中的速度与空气速度的合成。从前面的分析中可知，飞机机身的方向就是飞机在静止空气中的速度方向，也就是飞机相对于空气的速度方向（取空气为参考系）。解决问题时可建立直角坐标系，取东西方向为x轴，南北方向为y轴，将飞机速度矢量表示在坐标系中即可进行求解。

解：沿东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立直角坐标系。如图所示：

在图中做出风速V牵，飞机相对于空气的速度即V相、飞机相对于地面的速度即V绝（取地面为基本参考系，空气为运动参考系），列方程求解：

可见，在矢量问题中引入坐标系便于问题的求解。

3.用坐标法便于寻找解决动力学问题的隐含条件

高中学习中解决的动力学问题多数是单体问题，而在大学阶段学生遇到的多数都是多体问题。在解决多体问题时需要寻找它们之间加速度或速度的相关关系。高中阶段的连接体间的关系通过简单分析即可得出，而大学习题中出现的多于两个物体的情况下，其间的相关关系比较复杂，无法通过简单观察分析得出，必需在坐标系中利用不同质点的坐标及题设条件相结合推导得出。

[例3]在如图所示的装置中，物体A、B、C的质量分别为m1、m2、m3，且两两不等。如物体A、B与桌面间的动摩擦因数均为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力。不计绳和滑轮的质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。

解析：A、B、C三物体通过一根绳子相互关联，它们间的速度及加速度间存在一定的关系，解决这一问题必须寻找到这一关系。在解决问题时建立坐标系，利用三个物体的坐标及绳长不变的条件，设法寻找三质点的加速度的关系。

解：以地面为参考系，建立如图所示的坐标系。用FA、FB分别表示作用在A、B上的绳的拉力，NA 表示作用在A上的支持力，用fA、 fB分别表示作用在A、B上的摩擦力，FC表示滑轮对C的拉力。对A、B、C三个物体进行受力分析得：

当然，坐标系不仅在解决这些力学问题中有效，在功能关系、刚体部分及振动波动等问题的解决中都是非常重要的工具。解决物理问题时必需要将题中的条件用物理量间的关系表示出来，而建立坐标系后，利用坐标或坐标轴的方向可将复杂的关系简单化、矢量关系标量化、隐性关系显现化，从而使问题快速准确的得以解决。因此，在教学中应提倡学生熟悉坐标系的使用，使解决问题的过程程序化，达到有效快捷的解决问题。

参考文献：

[1]漆安慎 杜婵英著 《普通物理学教程.力学》 北京 高等教育出版社2005.6