欧式一篮子期权的控制变量MC模拟
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中图分类号：F831 文献标识：A 文章编号：1009-4202（2011）11-000-01
摘 要 针对欧式一篮子算术平均期权没有显示解问题，提出一种新的控制变量进行MonteCarlo模拟，不仅打破了传统的复杂控制变量技术，而且简化了其定价，具有实用价值和创新意义。
金融期权是20世纪国际金融市场创新的一个成功典范，是一种颇具魅力的金融衍生工具。它的主要功能在于实现风险转移，为投资者提供套期保值的有效工具和财务金融风险管理的有效手段；同时也扩大企业的融资渠道和降低融资成本，提高金融市场效率，因此受到广泛投融资者的欢迎。但期权是一种复杂的金融产品，特别是奇异期权，确定其价格是许多交易者和研究者感到困难的问题。因此期权定价理论成为现代金融学核心研究内容之一，在理论和实践上具有重要的学术价值和社会经济意义。
一、欧式一篮子期权定价研究现状
一篮子期权是多个标的资产的一个投资组合期权。为满足投资者对风险分散化投资而设计的。其价格函数分别为：
其中(1)、(2)两式为几何平均一篮子看涨、看跌期权在t时刻的价格，(3)、(4) 两式为算术平均一篮子看涨、看跌期权在t时刻的价格。
利用多维Ito公式可以求出(1)、(2)两式的显示解，下面给出(1)的显示解
对于算术平均一篮子期权(3)、(4)，因为高维问题求不出显示解。目前解决的办法主要通过对分布函数近似的方法及一般MC模拟方法等，对方差减少技术MC模拟的应用较少。
二、控制变量的MC模拟
控制变量方法是MC模拟的一种方差减少技术，主要适合于相似衍生金融工具的定价。对于算术平均欧式一篮子看涨期权传统的控制变量为：
下面我们提出一个新的控制变量V2：
现令 的MC模拟值分别记为 ， 表示为(3)式的价格，也是我们要求解的价格， 为 的MC模拟值。则
三、 数值结果
以两个独立股票资产组合的欧式一篮子算术平均看涨期权为例，假定
模拟的路径数10000，每个路经分为1000步，其模拟结果如下：
从上表可以看到，两个控制变量技术模拟的结果都比较好，并且要比传统的MC模拟收敛速度快，估计的标准差小。当改变时间T或利率r时，其它参数值不变，又得到图1、图2的模拟结果，我们发现当Ｔ或ｒ的值增大时，控制变量2模拟的结果要好于控制变量１模拟的结果。
参考文献：
[1]Merton R.C.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Sciences.1973(4):141-183.
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[3]P.Pellizzari.1998:Effieient Monte Carlo Prieing of Basket Options，Dept of Applied Mathematics.University of Venice.