数学思想在最值求解中的应用分析

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摘要： 本文主要讲述如何运用常见数学思想方法解决数学中的最值问题。通过探索规律，总结归纳，利用极值思想、函数思想、化归思想、数形结合思想等求解一些常见的最值问题，使最值问题的解决更方便、更快速、更容易。

Abstract： This paper mainly discusses how to use the common mathematical thought and method to solve the problems in Mathematics. Through the exploration of the law to summarized， using extreme value idea， functional ides， reduction idea， combination of number and shape idea to solve some common most value problems， to make solutions of most value problems more convenient， rapid and easily.

关键词： 中学数学；最值；求解；数学思想

Key words： high school mathematics；the most numerical value；solution；mathematics theory

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）15-0290-02

0 引言

近年来，数学思想方法的运用越来越受到中学师生们的重视，它可以说是人们获取数学知识和能力的一把金钥匙。而中学数学中的最值问题，因其解题规律较难掌握，涉及知识点较多，从而不知如何入手解决，所以一向被中学生视为难点。下面通过举例说明如何运用数学思想方法解决中学数学中的最值问题。

1 极值思想

极值思想是中学数学中最值问题求解的常用数学思想方法。但是在具体解题中，学生不容易想到这种方法。极值思想实际上是一种着眼全局而又从问题的极端情形来考查，再通过对极端情形考查的结论回到全局，从而使问题得以解决[1]。

例1.已知某三角形的两角之和为α，最大角比最小角大24°。试求α的取值范围。

分析：本题虽为求α的取值范围，但实际上就是求的最大值和最小值。经审题分析，此处可以利用极值的方法解决。

解：①求∠A+∠B=α的最大值，如图1，则∠C=180°-α为最小值，根据题意，令∠A+∠B中较大的为∠A（即∠A？叟∠B>∠C）

则有∠A=∠C+24°

所以有∠A=204°-α

∠B=2α-204°

由∠A？叟∠B

求得α？燮136°

②求∠A+∠B=α的最小值，如图2，则∠C=180°-α为最大角。

根据题意，令∠A+∠B中较小的为∠A（即∠A？燮∠B

则有∠C=∠A+24°

所以有∠A=156°-α

∠B=2α-156°

由∠A？燮∠B

求得α？叟104°

综上所述得α的取值范围为104°？燮α？燮136°。

2 化归思想

化归思想是数学中解决问题的一种基本方法，化归思想通常是把复杂问题、非常规问题、未知问题等化归为简单问题、常规问题、已知问题，从而使复杂问题简单化[2]。

例2.定长为ll>■的线段AB的端点在双曲线■-■=1的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为多少？

分析：通常中学生会用解析方法来求解，即先设Ax■，y■，Bx■，y■，Mx■，y■，易知AB方程：y-y■=■x-x■，把它代入■-■=1中，消去y得到一个关于x的二次方程，进而可以表示出x■x■，把它代入方程l=■，从而求出x■的最小值。这样的话运算量势必非常大，而用化归思想方法来解，则比较快捷。

解：如图3，作出双曲线的右准线，过A，B作AA′、BB′垂直于准线，垂足为A′，B′。又过AB的中点M作MM′垂直于准线，垂足为M′，则求M点横坐标的最小值，实质上是求线段|MM′|的最小值[3]。

因为MM′=■（AA′+BB′）（1）

又AA′=■AF，BB′=■BF，

将此二式代入（1），结合三角形两边之和大于第三边可得：MM′=■（AF+BF）？叟■AB，

当且仅当A、F、B三点共线时，即AB过焦点F时，有

MM′■=■AB=■，

易求x=■+■=■。

3 函数思想

用函数思想解最值问题，通常情况下，要把最值问题转化为函数问题，利用导数工具，以及函数的性质和图像，从而解决最值问题。

例3.设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对于所有的x？叟0，都有f（x）？叟ax成立，求实数a的取值范围。

分析：通常我们的解法是分类讨论：当x=0时，有0？叟0成立；当x>0时，a？燮■。原命题转化为求■的最小值，利用导数工具，可以求出其最小值，从而能够确定a的取值范围。但是还有更简捷的方法，就是利用函数思想，直接构造函数。

解：构造函数g（x）=f（x）-ax，则原题意g（x）？叟0对于所有的x？叟0都成立，因为g′（x）=ln（x+1）+1-a>0？圯x>ea-1-1，故g（x）在x∈（ea-1-1，+∞）上是增函数。注意到g（0）=0，要使x？叟0时都有g（x）？叟g（0）成立，只要（0，+∞）？哿（ea-1-1，+∞），所以ea-1-1？燮0即a？燮1。故a∈（-∞，1]为a的取值范围。

4 数形结合思想

数与形的结合是数学学科的特征之一。若能灵活运用数形结合的思想方法解决中学数学问题，势必使数学问题得以最直观、最简捷的解决。

例4.已知对于一切实数x都有k？燮|x+2|+|x-2|+|x-4|成立，求实数k的最大值。

分析：这一题涉及到若干个绝对值的和的问题，通常方法是把绝对值符号去掉，化为分段函数来解决。但从形的角度考虑，这道题可理解为数轴上动点到若干个定点的距离之和，这样问题就容易解决了。

解：因为|x+2|+|x-2|+|x-4|表示为数轴上的动点P（x）到三定点A（-2），B（2），C（4）距离之和。如图4，当且仅当点P与点B重合时，|x+2|+|x-2|+|x-4|取得最小值6。

因此只要k？燮6，就有k？燮|x+2|+|x-2|+|x-4|。

所以k=6为所求最大值。

5 结束语

综上，利用极限思想、化归思想、函数思想、数形结合思想等能够有效的解决最值求解问题，这也是数学中的一种指导思想和普遍适用的方法，是把数学知识的学习和培养能力有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新型人才的基础[4]。

参考文献：

[1]钱玲主编.中学数学思想方法[M].北京：北京师范大学出版社，2001，9.

[2]潘际栋主编.黄冈新考点―高考第一轮总复习[M].延边大学出版社，2005，5.

[3]曲一线主编.5年高考3年模拟.理科数学[M].北京：首都师范大学出版社，2005，6.

[4]赵花丽.将数学思想方法和数学史相结合融入课堂教学中[J].太原城市职业技术学院学报，2009.