格点相似三角形问题例析

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在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以网格为背景的相似三角形问题，在中考试题中时有出现．解决格点三角形相似问题，要依据网格的特征，并结合相似三角形的有关判定方法去思考．

例1（安徽省）如图1是一个100格点正方形组成的网格．

ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题:

在图2中画出与ABC相似的格点A1B1C1和A2B2C2，且A1B1C1与ABC的相似比是2，A2B2C2与ABC的相似比是.

解析：要作与ABC相似的三角形，首先要找到ABC的特征，再依据规定的相似比求解.在 ABC中，AB＝BC＝2， ∠B＝90因为A1B1C1与ABC的相似比是2，所以A1B1＝B1C1＝4， ∠B1＝90；因为A2B2C2与ABC的相似比是.所以A2B2 ＝ B2C2 ＝， ∠B2＝90．所作的三角形如所示．

点评：作已知三角形的相似三角形的关键是确定已知三角形的特征，根据条件找到要作三角形的对应特征．本题也可以从三边对应成比例考虑作相似三角形．

例2（台州市）如图3，在4的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：∠ABC＝_____，BC＝_____；

（2）判断ABC与DEF是否相似，并说明你的结论．

解析：（1）观察图形可知∠ABE＝90∠EBC＝45，所以∠ABC＝904535根据网格的特征，利用勾股定理可得BC＝＝2.（2）要判断 ABC和DEF是否相似，则应根据三角形相似的判定方法，从对应边成比例，对应角相等入手．

因为∠ABC ＝∠DEF ＝ 135＝＝，所以ABC∽DEF．

点评：说明网格中的三角形相似，一般根据三边对应成比例，或两边对应成比例、夹角相等进行推理．

例3（资阳市） 如图4，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使PQR∽ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

Ａ．甲 Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁

解析：从已知条件可知AB＝2，AC＝BC＝，PQ＝4，要使ABC∽PQR，则 ＝ ，即 ＝ ，可求得QR ＝ 2，通过计算可得点Q到丙的距离为2，所以R应是点丙，选C．

点评：依据已知条件和勾股定理计算出ABC的各边的长，根据相似三角形的对应边成比例计算出QR的长是解决问题的关键．本题还可用其它方法求解，请同学们自己探讨．

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