回眸历史看竖式
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在倡导“自主学习”的今天，课堂教学给教师提出了一个挑战，即如何看待并应对学生不同于预设的生成。以计算教学为例，教科书所呈现的过程并不能穷尽所有可能的方法，这就容易使教师误认为教科书中的方法是唯一正确的，或者是最好的。因此，教师在教学中极易对学生富于创造性的自创算法采取抵触甚至否定的态度。
从历史的视角看，计算的过程与方法是多种多样的。当今教科书中所谓的标准方法是人们长期以来约定俗成的，并且被认为是书写最简约、工整的方法，是无数种计算方法经过演变并筛选出来的。从认知的角度看，这些方法并非是最自然的，书写的简约和工整隐藏了应当有的思考过程。因此需要回眸历史审视计算方法，一方面可以感受到多样化的算法，另一方面可以让隐藏在算法背后的想法显现出来，寻找到对学生的学习最自然的方法。
一、与现在不同的竖式
在如今数学教科书中整数加法、减法和乘法的竖式计算中，通常都会提出两个要求，第一是数位右侧（个位）对齐，第二是从低位算起。历史上的算法并非都是如此，比如对于“135×12”就有如图1的竖式计算方法。[1]
图1 从高位算起的乘法竖式
这个计算过程是将上面的因数“135”看作“100+30+5”，第一步是计算出100个“12”等于1200，“0”省略不写，把“12”写在横线下第一行；第二步是计算30个“12”等于“360”，用同样方法写在第二行；第三步算出5个“12”等于“60”写在第三行。最后计算出三个部分积的和。这个过程是从高位到低位逐步计算的，而且每一步计算结果都另起一行，避免了计算过程中的进位。
类似于此还可以把下面的因数“12”看作“10+2”，先计算10个“135”等于“1350”，再计算2个“135”等于“270”，之后把这两个部分积相加得到1620。（见图2）
图2 从高位算起的乘法竖式[2]
由此看出，所谓“从低位算起”并不是唯一确定、不能违背的，从高位算起应当是更加自然的思考方式，比如日常生活中的估算通常都是从高位算起的。[3]
除法是四则运算中难度最大的一种，历史上出现过许多现在看起来极其烦琐的计算方法。与现在除法竖式比较接近的一种，是出现于公元980年的Gerbert方法。[4]以“900÷8”为例，现在教科书中针对于此题的竖式计算应当是如图3的写法。
图3 标准除法竖式
Gerbert方法与现在标准除法竖式不同的是将除数写为“10-2”，将商写在被除数右侧，而且并不是取最大数作为试商，而是取便于计算的数。（见图4）
图4 Gerbert方法示意图[5]
上述过程的第一步选择商为90，是为了与10相乘得到900；第二步商18是为了与10相乘凑出180，以下依次类推。这个求商的思考过程与现在教科书中的过程显然是不一样的。Gerbert方法经过演变，还出现过如图5的除法竖式。
图5 逐级写商的除法竖式
这个过程的特点是将图3标准算法中隐藏的位值原理显现出来了，表面看书写得比较烦琐，但过程更加自然、直观并易于理解了。
二、《御制数理精蕴》中的以乘算除
《御制数理精蕴》是清代康熙皇帝亲自主持编写的一套科学著作，其中下编卷一“归除”章中介绍的除法计算极具特色，利用乘法竖式的写法计算除法。比如针对问题“设如有米六十四石，令八人分之，每人得几石”，列出的算式也就是对“64÷8”的计算，采用了如图6的写法。
图6 《御制数理精蕴》中“64÷8”的计算
原书中对计算过程的描述为：“法以六十四石为实列于下，八人为法列于上，因法之于实之首位之六，故将法退一位书之。再看实足法几倍，今足八倍，故书八于法上。乃以得数之八与法之八相因得六十四书于实下，与实相减恰尽，得数为八石也。”[6]这一过程可以用现在的语言分如下几个步骤解释：
第一步：把被除数64写在下面，除数8写在上面。因为除数8大于被除数最高位6，所以要退一位写（见图7）。这实际上是运用乘法计算除法，相当于思考“8乘多少等于64”。
图7 《御制数理精蕴》除法详解示意图之一
第二步：看被除数最多包含了除数的几倍，可以看出最多包含8倍，所以在除数上面写8。（见图8）
图8 《御制数理精蕴》除法详解示意图之二
第三步：将得数8与除数8相乘得64，写在被除数64下面。（见图9）
图9 《御制数理精蕴》除法详解示意图之三
第四步：与被除数相减，恰好得0。说明得数就是8。（见图10）
图10 《御制数理精蕴》除法详解示意图之四
书中对于比较复杂的除法也采用同样的方法计算。比如“9225÷45”的计算就是如下的竖式。（见图11）
图11 《御制数理精蕴》9225÷45过程示意图
其中的“九二二五”是被除数“9225”，“四五”是除数“45”，最上面的“二五”是商“205”。计算过程与前面基本上是一致的。把这个竖式中的除数“四五”移出来写到左侧，就与现在教科书中的除法标准竖式的写法基本上一致了。（见图12）
图12 计算示意图
初学除法最大的困难是，除法竖式与已经熟悉的乘法竖式书写方式不一致。《御制数理精蕴》中的方法提供了从乘法竖式自然过渡到除法标准竖式的思路，这样的思路能够使学习者在已有知识和经验的基础上自然而然地获得新知识。
三、竖式的认识与教学
从历史发展的视角看，计算方式主要有心算、工具算和笔算。心算就是不利用纸笔和其他工具进行计算；工具算指的是借助诸如算筹、算盘等工具进行计算，当然近现代的计算工具还包括电子计算机（器）；笔算就是仅借助纸、笔进行计算，数学课程中的竖式其实就是历史上传承下来的笔算的一种形式，写出竖式进行计算的目的在于记录计算过程，减轻思维的记忆负担。
长期以来，人们对于计算追求的是“准确”与“快速”，因此在多种多样的笔算中就逐步摒弃了冗长、烦琐的方式，遗留下书写形式最为简捷并且规范的形式，供后人学习。而对于初学者，特别是低龄的儿童来说，这些简捷并且规范的竖式往往不是最容易理解的形式。因此在数学课程与教学中适当地呈现一些表面看不简捷、但是更为自然的竖式作为过渡，对于帮助学生理解计算过程中的原理或许会有所裨益。
1947年中华民国教育部审定，中华书局出版的《初级小学算术课本（六）》中把所有问题的计算都呈现出两种形式的竖式。（见图13）
图13 民国算术课本图
比如对于问题“兵士3队，每队125人，共有几人？”[7]就分别列出如图14的两个竖式：
图14 竖式对比示意图
图14中右侧竖式不如左侧竖式书写简捷，但把“125×3”过程中的“5×3”“20×3”和“100×3”三个环节分别呈现出来了，对于学习者来说更加自然、更加直观、更容易理解。将二者摆放在一起对比学习，显然有助于对左侧标准竖式的理解。
综上对于计算教学中的竖式应当形成的认识是，教科书中的竖式并不是唯一的，也不是学生最容易理解的。教学中教师应当让学生与心算结合起来，当心算过程过于复杂、有记录的需要时，就可以鼓励学生用自己认为合理的方式记录，在此基础上通过引导与讨论，逐步过渡到标准竖式的认识。
参考文献
[1]David Eugene Smith. History of mathematics. Volume 2. Copyright， 1925， by David Eugene Smith. P108.
[2]同[1].
[3]郜舒竹.国外估算案例析[J].教学月刊，2013（3）.
[4]Louis C. Karpinski. Two Twelfth Century Algorisms. Isis， Vol. 3， No. 3 （Summer， 1921）， PP.396～413.
[5] 同[1]，P150.
[6][ 清] 御制数理精蕴： 下编卷一. 载：钦定四库全书子部.
[7]教育部审定. 初级小学算术课本（六）[M]. 北京：中华书局， 1947年.
（首都师范大学初等教育学院 100048）