利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题

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摘 要：几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求展开图中两点之间的最短距离。解决该类问题通常是分类解答做比较后得出最终结果。由于有些图形情况复杂，许多学生分类讨论不完整，常常导致最后结果出错；另一方面，分类解答比较浪费时间，所以导致学生非常害怕做该类题。本文将对该类题进行归纳讨论，分析这类题的实质，简化问题得出结论。

关键词：勾股定理；几何体；最短距离

问题：如图，是一块长、宽、高分别是a，b，c（a>c>b）的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点G处吃食物，寻找蚂蚁需要爬行的最短路径。

讨论：该题目中从点A至点G的可能的最短路径一定经过两个面；因为“前面”、“左面”、“下面”相交于点A，所以开始经过的面一定是“前面”或“左面”或“下面”；要经过的第二个面由点G决定，由于“右面”、“上面”、“后面”相交于点G，易得以下几种情形：

①“前面”“右面”

将折平面ABFE、BCGF展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得

AG2=（AB+BC）2+CG2=（a+b）2+c2=a2+c2+2ab

②“前面”“上面”

将折平面ABFE、EFGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得

AG2=（BF+FG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+c2+2bc

③“左面”“上面”

将折平面AEHD、EFGH展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得

AG2=（AE+EF）2+GF2=（c+a）2+b2=c2+a2+2ac+b2

④“左面”“后面”

将折平面ADHE、DCGH展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得

AG2=（AD+DC）2+CG2=（b+a）2+c2=a2+b2+c2+2ab

⑤“下面”“后面”

将折平面ABCD、DCGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得

AG2=（BC+CG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+b2+c2+2bc

⑥“下面”“右面”

将折平面ABCD、BFGC展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得

AG2=（AB+BF）2+GF2=（a+c）2+b2=a2+b2+c2+2ac

小结：以上六种情形实质上归结为三种情形（因为每两个相对的面是全等的长方形）：①与④实为同一种情形；②与⑤实为同一种情形；③与⑥实为同一种情形，比较三个结果易得：

a>c>b

ac>ab>bc

a2+b2+c2+2ac>a2+b2+c2+2ab>a2+b2+c2+2bc

②或⑤最近。

结论：解决此类问题应让较短的两条边展开在同一个平面内作为展开面的一边，应用勾股定理求解。

变式练习：如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B为棱上一点，点B离顶点C有5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的路程是多少？

分析：用常规方法分类解答作比较：

解法一：将长方体展开成平面图形。两点之间线段最短，所求的爬行路程就是线段AB的长度，根据点B在图上的位置，展开后线段AB有两种可能（如图（a）、图（b））。在图（a）中：由勾股定理，得AB2=202+（10+5）2=625，AB=25.在图（b）中：AB2=202+（20+5）2=725.

725>625，需要爬行的最短路程是25cm.

解法二：直接应用上面的结论，该问题应把长为5cm、10cm的两条边所在平面展开摊平，使5cm、10cm的两条边作为展开面的一边，20作为另一边，由勾股定理，得AB2=202+（10+5）2=625，AB=25.

几何体表面最短距离问题一定要注意原图形在展开图中的相应位置。但这类题也不是不可攻克，只要真正理解这类题的实质，用我们得到的结论，使问题得以简化，学生可以非常容易，而且能够快速、准确地得出正确的结论。

（作者单位：云南省昆明市第三中学）