一道数列试题求通项的多角度思考

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摘 要：本文对一道数列试题求通项进行了多角度思考，着重培养学生的探究能力、创造能力、推理能力，引导学生把握知识结构脉络，融会贯通，做到一题多解，一题多思.

关键词：多角度；数列；通项公式

题目：已知数列｛ａｎ｝满足=n（n为正整数）且a2=6，则数列｛ａｎ｝的通项公式为an=________.

角度一、归纳法（先猜后证）

解析1：

a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，……

a2－a1=5，a3－a2=9，a4－a3=13，a5－a4=17，

……，an－an-1=4n－3?圯an=2n2－n.

点评：作为填空题，此题的本意或许就是归纳求解，也符合“苏教版”中推理证明的要求，大部分学生都能解决. 笔者解决完以后，感觉意犹未尽，经一番思索，得出如下解法.

角度二、转化为an－an-1=f（n）（n≥2）型

解析2：由=n（n∈N*）可得（n－1）an+1=（n+1）an－（n+1）①.

当n≥2时，①两边同时除以（n+1）n?（n－1） 得=－（n≥2）.

于是，－=－（n≥2），

－=－，……，

－=－，

从而－=－1，可得=+2=.

即an=2n2－n（n≥2），经检a1=1也适合，故an=2n2－n.

解析3：由①（n－1）an+1=（n+1）an－（n+1）得到

nan+2=（n+2）an+1－（n+2） ②，

①-②得（2n+1）an+1－nan+2－（n+1）an=1③，

③整理得到n（an+1－an+2）+（n+1）（an+1－an）=1，

即n（an+2－an+1）－（n+1）（an+1－an）=－1，两边同时除以（n+1）n得

－=－，－=－，

……，－=－

?圯－=－1?圯=4+=

?圯an－an-1=4n－3，下同解析1（略），得an=2n2－n.

点评：解法2，3显示了两种不同的构造方法，目的均为转化为an－an-1=f（n）（n≥2）型，而最终发现系数的分式型反而比整式型更容易构造.

角度三、转化为=g（n）（n≥2）型

解析4：当n≥2时，①两边同时除以（n－1）（n+1），得到=－（n≥2），

可以得到=+1－（n≥2）?圯－1=－1（n≥2），

=（n≥2），=，……，=

?圯－1=2（n－1）（n≥2），=2n－1得an=2n2－n（n≥2）.

经检a1=1也适合，故an=2n2－n.

解析5：由①两边同时除以（n－1）得到

an+1=an－（n≥2）?圯an+1－（n+1）=（an－n）（n≥2），

=，=，……，=，

可得=，=（n≥2）?圯an=2n2－n（n≥2）. 经检a1=1也适合，故an=2n2－n.

点评：解法4，5显示了两种不同的构造方法，目的均为转化为=g（n）（n≥2）型，而对式子的不同整理，导致构建的难度相差很大.

角度四、差分法

解析五：（n－1）an+1=（n+1）an－（n+1）（n≥2）①，

nan+2=（n+2）an+1－（n+2）②，

②－①得（2n+1）an+1－nan+2－（n+1）an=1③，

于是（2n+3）an+2－（n+1）an+3－（n+2）?an+1=1④.

④－③得（3n+3）an+1－（3n+3）an+2+（n+1）an+3－（n+1）an=0

?圯an+3－3an+2+3an+1－an=0（n≥2）

?圯an+3－2an+2+an=an+2－2an+1+an=…=a4－2a3+a2=4

an+2－2an+1+an=4?圯an+2－an+1=an+1－an+4，

an+1－an=（a2－a1）+4（n－1）=4n+1，下同解析1（略），得an=2n2－n.

点评：应该说此法在几种解法中相对较好，但仍然需要很强的观察能力. 一般地，对与变系数的递推关系式数列通项的求解无一般性的解法，需要解题者多角度、多方位的思考. 也正为此，此类问题在高考，尤其在数学竞赛中屡屡出现.

一道平凡习题竟有不同的思考角度，引导学生把握知识结构脉络，融会贯通，可以学生的增强信心，减轻其负担. 本题是高三研究性复习的一个范例，不敢说每一道习题都能从不同章节中产生不同的解法，但至少可以从函数、三角、向量、解析法、几何模型等几个方面进行充分考虑. 本题的探究工作建立在普遍联系的世界观基础上，展示了数学世界的多样性和统一性. 这些方法，无论简单或复杂、奇异或平淡、流畅或做作、不失一般性或拘于一隅，因小见大或小题大做，殊途同归或同源异路，给人的世界观教益远远高于问题本身.