把握常见递推数列考点
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递推数列是历年高考数学命题的热点题型,如果对该考点把握不准,很容易拔高要求,甚至自寻烦恼。为准确理解该知识点的标高,本文对照考纲和考题进行阐述。
一、考纲要求
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
不论是新课程标准还是现考试大纲看,都不应把递推数列的要求随意拔高,把握命题的“标尺”。
二、考题类型
纵观历年各省市高考试题,对递推数列的考查都属于常见的类型,即将已知的递推关系变形转化成熟悉的等差数列或等比数列,利用等差数列和等比数列通项公式的推导方法(叠加、叠乘),从而使问题简单明了。即使复杂一点的已知式,在问题的设置上也变相的给出了提示(先证某个表达形式为等差数列或等比数列),因此对该考点只需要对一阶线性表达形式和已知前n项和的关系能转化为一阶线性表达形式的题型掌握熟练,对取倒数后就能转化为等差数列或线性形式的分式递推关系(只掌握特殊形式)进行了解。
三、考题解读
题型一?摇a■=ka■+b
(1)当k=1时,直接转化为等差数列
(2)当k≠1时,采用待定系数法
例1.(2006重庆)在数列{a■｝中,若a■=1,a■=2a■+3(n≥1),则该数列的通项a■=______.
略解:设a■+m=2(a■+m),与已知a■=2a■+3比较系数得m=3,从而{a■+3}是以a■+3=4为首项,2为公比的等比数列,有a■+3=4×2■,所以a■=2■-3.
题型二?摇a■=ka■+f(n)
(1)k=1时,a■-a■=f(n),若f(n)可求和,则可用累加消项的方法(叠加法)
例2.(2008四川)设数列{a■}中,a■=2,a■=a■+n+1,则通项a■=______.
略解:a■=a■+(a■-a■)+(a■-a■)+……+(a■-a■)=2+(2+3+……+n)=1+■.
(2)k≠1时,当f(n)=an+b则可设a■+A(n+1)+B=k(a■+An+B),这类考题一般都有小问铺垫提示。
例3.(2007天津)在数列{a■｝中,a■=2,a■=4a■-3n+1,n∈N*.
(1)证明数列{a■-n｝是等比数列;
(2)求数列{a■｝的前n项和S■;
(3)证明不等式S■≤4S■对任意n∈N■皆成立。
略解:(1)由题设a■=4a■-3n+1,得a■-(n+1)=4(a■-n),n∈N*.
所以数列{a■-n｝是首项为a■-1=1,公比为4的等比数列。
(2)S■=■+■.
(3)S■-4S■=-■(3n■+n-4)≤0.
(3)f(n)=q■(q≠0,1)等式两边同时除以q■得■=■・■+■转化为题型一,此类考题一般也有铺垫提示。
例4.(2008全国)在数列{a■｝中,a■=1,a■=2a■+2■.
(1)设b■=■,证明:数列{bn｝是等差数列;
(2)求数列{a■｝的前n项和S■.
略解:(1)因a■=2a■+2■,■=■+1,又b■=■
所以b■-b■=1,则{b■}是首项为1,公差为1的等差数列,b■=n.
(2)由(1)得a■=n・2■,利用错位相减法得S■=(n-1)2■+1.
题型三a■=f(n)・a■
(1)若f(n)是常数时,可归为等比数列
(2)若f(n)可求积,可用累积约项的方法化简求通项(叠乘)
例5.(2000年全国)设数列{a■｝是首项为1的正项数列,且(n+1)a■■-na■■+a■a■=0(n=1,2,3…),则它的通项公式是a■=_____.
略解:原递推式可化为:[(n+1)a■-na■](a■+a■)=0
a■+a■>0,■=■
则■=■,■=■,■=■……,■=■叠乘得:■=■,即a■=■.
题型四a■=k・■
考虑倒数关系有■=k′(■+■),这类考题主要考察取倒数后可以转化为前三类问题,且多数都有小问铺垫提示。
例6.(2008年陕西)已知数列{an｝的首项a■=■,a■=■n=1,2,…….
(1)证明:数列{■-1｝是等比数列;
(2)求数列{■｝的前n项和S■.
略解:(1)由a■=■取倒数有■=■・■+■,■-1=■(■-1),
所以数列{■-1｝是以■-1=■为首项,■为公比的等比数列。
(2)由(1)得■=■+n,利用错位相减得S■=■-■.
题型五?摇由前n项和S■与项的关系式给出,此类问题通常由a■=S■,n=1S■-S■,n≥2
得出关于a■或递推关系再转化为前四类问题解决。
例7.(2009年全国)设数列{a■}的前n项和为S■。已知a■=1,S■=4a■+2.
(1)设b■=a■-2a■,证明数列{b■}是等比数列;
(2)求数列{a■}的通项公式。
略解:(1)由已知得a■=3a■+2=5,故b■=a■-2a■=3.
又a■=S■-S■=4a■+2-(4a■+2)=4a■-4a■,于是a■-2a■=2(a■-2a■),
即b■=2b■.因此数列{b■}是首项为3,公比为2的等比数列。
(2)由(1)得a■-2a■=32■,转化为题型二,解得a■=(3n-1)2■.
根据现行的考试大纲,高考试题中考查递推数列主要从以上五种题型考查,对于其余类型(如利用特征方程解决,三项以上的递推关系等),仅作为参加竞赛的学生掌握和有余力的学生课外阅读。
四、巩固演练
1.(2009年湖北)已知数列{a■｝的前n项和S■=-a■-(■)■+2(n为正整数)。
(1)令b■=2■■an,求证数列{b■｝是等差数列,并求数列{a■｝的通项公式;
(2)令c■=■a■,T■=c■+c■+……+c■,试比较T■与■的大小,并予以证明。
2.(2009年四川)设数列{a■｝的前n项和为S■,对任意的正整数n,都有a■=5sn+1成立,记b■=■(n∈N■).
(1)求数列{a■｝与数列{b■}的通项公式;
(2)设数列{b■｝的前n项和为R■,是否存在正整数k,使得R■≥4k,若存在,找出一个正整数k;若不存在,请说明理由;
(3)记c■=b■-b■(n∈N■),设数列{c■}的前n项和为T■,求证:对任意正整数n,都有T■
作者单位:
四川成都市成华区教师进修学校
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