合情推理与演绎推理综合题型剖析

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合情推理、演绎推理为新教材中的新知识点，几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题在新的高考中都会涉及和渗透，应有足够的重视，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面．在选择题、填空题中注意灵活掌握．明确合情推理的一般步骤．掌握演绎推理的基本模式．

１．　数列中常常使用的“观察－归纳－猜想”的推理方式．

例１．　已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝２，ａｎ＋１＝１－　，则ａ２０１３＝（ ）

Ａ．　２ Ｂ．　－ Ｃ．　－ Ｄ．　－１

分析：要由数列的递推关系，看出一般性规律，猜想ａ２０１３．

解析：ａｎ＋１＝１－，　ａｎ＋２＝１－＝－，　从而ａｎ＋３＝１－＝１＋ａｎ－１＝ａｎ，即数列｛ａｎ｝是以３为周期的周期数列．又ａ１＝２，ａ２＝１－＝，ａ３＝－１，

所以ａｎ＝２，ｎ＝３ｋ＋１

，ｎ＝３ｋ＋２（ｋ∈Ｎ），所以ａ２０１３＝ａ６０７×３＋３＝ａ３＝－１．

－１，ｎ＝３ｋ＋３

答案选Ｄ．

点评：（１）如果数列｛ａｎ｝满足：存在正整数Ｍ、Ｔ，使得对一切大于Ｍ的自然数ｎ，都有ａｎ＋Ｔ＝ａｎ成立，则数列列｛ａｎ｝为周期数列．

（２）高考要求对数列要理解数列通项公式的意义，会由递推公式写出数列的前ｎ项，是归纳推理的典型例题．归纳推理是一种思维过程：观察－概括－猜想，既要有较强的归纳猜想能力，也要掌握一些常见规律．

例２．　设函数f（x）＝（x＞０），观察：f１（x）＝f（x）＝，f２（x）＝＝f（f１（x））＝，f３（x）＝f（f２（x））＝，f４（x）＝f（f３（x））＝，…

根据以上事实，由归纳推理可得：当ｎ∈Ｎ?且　ｎ≥２时，fｎ（x）＝f（fｎ－１（x））＝ ．

分析：依题意，　先求函数结果的分母中ｘ项系数所组成数列的通项公式，　由１，３，７，１５，　…，　可推知该数列的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１．又函数结果的分母中常数项依次为２，４，８，１６，　…，　故其通项公式为ｂｎ＝２ｎ，所以当ｎ≥２时，ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１（ｘ））＝．

点评：本题实质是根据前几项，　归纳猜想一般规律，　归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，　由归纳推理所得的结论不一定正确，　通常归纳的个体数目越多，　越具有代表性，　那么推广的一般性命题也会越可靠，　它是一种发现一般性规律的重要方法．

２．　函数题型中不可缺少的“化归与推理”的推理题型．

例３．　设函数f（x）在（－∞，＋∞）上满足f（２－x）＝f（２＋x），f（７－x）＝f（７＋x），且在闭区间［０，７］上只有f（１）＝f（３）＝０．

（１）试判断f（x）的奇偶性；

（２）试求f（x）＝０在闭区间［－２００５，２００５］上的根的个数，并注明你的结论．

分析：（１）判断f（x）的奇偶性，主要以定义为依据．函数图像有两条对称轴，则为周期函数．

（２）在闭区间［－２００５，２００５］上的根的个数，只能通过具体的区间—一个周期上的结论去推理．

解析：（１）由f（２－x）＝f（２＋x），得f（x）＝f（４－x）．

由f（７－x）＝f（７＋x），得f（x）＝f（１４－x），

f（４－x）＝f（１４－x），得f（１０＋x）＝f（x），f（x）周期为１０．

在闭区间［０，７］上只有f（１）＝f（３）＝０，f（－３）＝f（７）≠０，

f（x）既不满足f（－x）＝f（x），也不满足f（－x）＝－f（x），是非奇非偶函数．

（２）在闭区间［０，１０］上只有f（１）＝f（３）＝０，在闭区间［－１０，０］上只有f（－９）＝f（－７）＝０，f（x）在［０，１０］上有两个根，在［０，２００５］有４０２个根，在［－１０，０］上有两个根，在［－２００５，０］有４００个根，在闭区间［－２００５，２００５］上有８０２个根．

点评：（１）奇偶性的判断与使用，主要都以定义为依据，但注意判断函数ｆ（ｘ）具有奇偶性的时候，要满足定义，而否定奇偶性的时候，只要举出一个反例即可否定．

（２）分析与综合，化归与推理，共同揭示了数学问题中的条件与结论的关系．

例４．　已知函数ｆ（ｘ）＝－（ａ＞０且ａ≠１）　，

（１）证明：函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于点（，　－）对称；

（２）求ｆ（－２）＋ｆ（－１）＋ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）的值．

分析：演绎推理是由一般到特殊的证明，　它常用来证明和推理数学问题，　此题要注意推理过程的严密性，　书写格式的规范性．

解析：（１）证明：函数ｆ（ｘ）的定义域为全体实数，　任取一点（ｘ，　ｙ），　它关于点（，　－）对称的点的坐标为（１－ｘ，　－１－ｙ）．

由已知得ｙ＝－－，　则－１－ｙ＝－１＋＝－　，

ｆ（１－ｘ）＝－＝－＝－＝－，　－１－ｙ＝ｆ（１－ｘ）．

即函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于点（，　－）对称．

（２）由（１）有－１－ｆ（ｘ）＝ｆ（１－ｘ），　即ｆ（ｘ）＋ｆ（１－ｘ）＝－１．

ｆ（－２）＋ｆ（３）＝－１，　ｆ（－１）＋ｆ（２）＝－１，　ｆ（０）＋ｆ（１）＝－１．

则ｆ（－２）＋ｆ（－１）＋ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＝－３．

点评：数学证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂数学命题的推理往往是由多个“三段论”构成，　可用符号表示为“若ｂｃ，　ａｂ，　则ａｃ”，　这种推理规则叫做三段论推理．　在演绎推理中，　只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正确的，　结论必然是正确的，　否则所得的结论是错误的．

３．　几何题型中常常见证“演绎推理的一个重要形式－三段论”．

例５．　已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＤＣ＝ＡＤ，ＡＣ和ＢＤ是它的对角线．

求证：ＡＣ平分∠ＢＣＤ，ＢＤ平分∠ＣＢＡ．

分析：本题的证明并不难，重在强调演绎推理的一个重要形式－三段论．这里有平行关系，想到内错角相等；有等腰三角形，想到底角相等；由等量代换，不难推证．

解析：（１）两平行线与第三直线相交，内错角相等 （大前提）

（２）等腰三角形两底角相等 （大前提）

（３）等于同一个量的两个量相等 （大前提）

（４）同理，ＢＤ平分∠ＣＢＡ．

点评：演绎推理是由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．三段论式的推理是演绎推理的主要形式．虽然常常省略大前提或小前提，但演绎推理是按照严格的逻辑法则得到新结论的推理证明方法．

４．　函数与数列问题中常出类比题．

例６．（１）设函数ｆ　（ｘ）＝，利用课本中推导等差数列前ｎ项和公式的方法，可求得ｆ（－２０１２）＋ｆ（－２０１１）＋ｆ（－２０１０）＋…＋ｆ（２０１１）＋…＋ｆ（２０１２）＋ｆ（２０１３）的值为 ．

（２）已知函数ｆ（ｘ）＝，那么ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋…＋ｆ（２０１３）＋ｆ（）＋…＋ｆ（）＋ｆ（）＋ｆ（）的值为 ．

分析：两小题都是求和（求函数值的和）问题，把它们与数列求和进行类比．观察各函数值中自变量的特点，联想等差数列的性质：ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝ａ３＋ａｎ－２，于是对于第（１）题，我们可以采用求ｆ　（－２０１２）＋ｆ　（２０１３）、ｆ　（－２０１１）＋ｆ　（２０１２）、…、ｆ　（０）＋ｆ　（１），而－２０１２＋２０１３＝－２０１１＋２０１２＝－２０１０＋２０１１＝…＝０＋１．对于一般情形有：　ｆ（λ）＋ｆ（１－λ）＝＋＝＋

＝＝，

故原式的值为２０１３×＝．

对于第（２）题，也用类比思想方法求ｆ（２）＋ｆ（）、

ｆ（３）＋ｆ（）、ｆ（４）＋ｆ（）、…ｆ（２０１３）＋ｆ（）．我们很快发现ｆ（λ）＋ｆ（）＝１，于是原式的值为，这两道小题的解决方法是用类比方法求解，而这种方法源于课本．

点评：类比的方法是以两个对象之间的类似为基础的．类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式．应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁．

（作者单位：贵州省龙里中学）

责任编校 徐国坚