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许多一元二次方程习题,把很容易忽视的条件溶进了题中,设置了一个或几个“陷阱”,如果掌握知识或考虑问题不全面,思维不严谨,致使在做题时,顾此失彼,或做错或漏解.举例如下,供同学们参考.
一、忽视二次项系数不为零
例1 方程(m-2)xm2-5m+8+(m-3)x+5=0是一元二次方程,求 m 的值.
误解:当 m2-5m+8=2,即 m=2 或 m=3时,该方程为一元二次方程.
剖析:忽视一元二次方程 ax2+bx+c=0中“a≠0”.应取 m=3.
例2 若 x 的方程 m2x2-(2m-3)x+1=0两实根的倒数和是S,求S的取值范围.
误解:设原方程的两实根为 x1、x2,则
S=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m-3,
所以 m=S+32.
又Δ=-12m+9≥0,
所以 m≤34.
即S+32≤34,因此S≤-32.
剖析:当S=-3时,m=0,原方程不是一元二次方程,故正确答案应是:S≤-32且S≠-3.
二、忽视二次项系数的讨论
例3 方程 kx2+2kx+k-1=0无实数根,求 k 的取值范围?
误解:由Δ<0得
(2k)-4k(k-1)<0,
即 k<0,所以当 k<0,原方程无实数根.
剖析:此方程不一定是一元二次方程,二次项系数 k 也有可能等于0,所以应分为 k≠0和 k=0来考虑.
例4 已知关于 x 的方程(k-2)x2-(2k-1)x+k=0有实数根,求 k 的取值范围?
误解:因为原方程有实数根,
所以 k-2≠0,
且Δ=[-(2k-1)]-4k(k-2)≥0,
所以 k≥-14且 k≠2,
所以当 k≥-14且 k≠2时原方程有实数根.
剖析:题目在措词上值得注意的是,题中条件仅仅为“关于 x 的方程”和“有实数根”,并没有指出是否为二次方程和有二个实数根.因此所给的方程可能是一元二次方程有二个实数根;也可能是一元二次方程有一个实数.所以除了考虑“a≠0”外,还应考虑“a=0”的情况.
三、忽视一元二次方程有根的条件Δ≥0
例5 若 x1、x2 是关于 x 的方程 x2+(2m-1)x+m2=0的两实根,且(x1+1)(x2+1)=17,求 m 的值.
误解:由 x1+x2=1-2m,x1x2=m2,
又 (x1+1)(x2+1)=17,
得 m2-2m-15=0,
即 m=-3 或 m=5.
剖析:忽视一元二次方程有根的条件Δ≥0,即 m≤14,故 m=5舍去.取 m=-3.
四、忽视系数中的隐含条件
例6 已知关于 x 的方程(1-2k)x2-2k+1x-1=0有两个不相等的实数根,求 k 的值.
误解:由题意得Δ=(-2k+1)2+4(1-2k)>0,得 k<2,
所以当 k<2时原方程有两个不相等的实数根.
剖析:误解忽视二次项系数1-2k≠0的条件和k+1必须有意义,故应补充 k≥-1 且 k≠12.
故正确答案应是-1≤k<2且 k≠12.
例7 已知 p2-2p-5=0,5q2+2q-1=0,其中 p、q 为实数,求 p2+1q2的值.
误解:虽然 q≠0,由5q2+2q-1=0,得
1q2-21q-5=0,
又 p2-2p-5=0.
所以 p 和1p是方程 x2-2x-5=0的两个根.
由根与系数之间的关系有:
p+1p=2,p・1p=-5,
所以 p2+1p2=(p+1p)2-2・p・1p
=22-2×(-5)=14.
剖析:这里忽视了 p 和 1p 相等和不等的讨论,上面解法仅承认了 p≠1p的情况,而漏掉了 p=1p的情况,应补充.当 p=1p时,p 和1p是原方程的同一个根,而方程的根 x=1±6.
则有 p2+1p2=2p2=2(1±6)2=14±46,
所以 p2+1p2的值应为14或14±46.
五、用根与系数关系解题时,忽视“a≠0”与“Δ≥0”
例8 关于 x 的方程 k2x2+(2k-1)x+1=0的两根互为倒数,求 k 的值?
误解:因为 x1 与 x2 互为倒数,
所以 x1x2=1,即 1k2=1,
所以 k=±1.
所以所求的 k 的值为:k=±1.
剖析:本题的隐含条件“二次项系数 k2≠0”和“方程必须有实根即Δ≥0”被忽视了,正确答案应为:k=-1.
六、忽视两根的符号
例9 已知方程 x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ+βα的值.
误解:因为Δ=32-4×1×1=5>0,
所以α≠β.
由一元二次方程的根与系数的关系得:
α+β=-3,αβ=1.
所以αβ+βα=αβ+βα
=α+βαβ=-31=-3.
剖析:上述解法,没有应用根与系数的关系判断方程 x2+3x+1=0的两根的符号,算术平方根的概念也没有搞清楚.正确答案应为:
因为Δ=32-4×1×1=5>0,
所以α≠β.
由一元二次方程的根与系数的关系得:
α+β=-3,αβ=1.
所以α<0,β<0.
所以原式=-α-β+-β-α=-α-βαβ
=-α+βαβ=--31=3.
(初二)
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