直线与圆的方程考点聚焦

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本考点主要考查直线方程特征值以及方程的求法，有关考题在选择、填空和解答题中都有所涉及，难度偏易或中等.

例1 （广东文科卷）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l∶x-y-2=0的距离为 .设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点. 当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.

解析 依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy，由 = ，结合c>0，解得c=1.

所以抛物线C的方程为x2=4y，即y= x2，求导得y′= x.

设A（x1，y1），B（x2，y2）（其中y1= ，y2= ），则切线PA、PB的斜率分别为 x1、 x2，

所以切线PA的方程为y-y1= （x-x1），即y= x- +y1，即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.

因为切线PA、PB均过点P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

所以（x1，y1），（x2，y2）为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

故直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

说明 两点确定一条直线，当两点坐标满足同一个直线方程时，这个直线方程就是这两点的直线方程.当然，求直线方程的方法很多，直线方程有点斜式、两点式、斜截式、截距式和一般式五种形式.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直.因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解.

本考点主要考查圆的方程的特征与求法，在高考三类题型中都有可能出现，难度中等.

例2 （江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l∶y=2x-4. 设圆C的半径为1，圆心在l上.

（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解析 本题无论是（1）还是（2），关键都是确定圆的位置，即找到相关圆的圆心和半径.

（1）联立y=x-1y=2x-4，得圆心C（3，2）.

设过A（0，3）的圆C的切线为y=kx+3，则由 =1，得k=0或k=- .

故所求切线为y=3或y=- x+3.

（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知 =2 ，

化简得x2+（y+1）2=4，即点M在以（0，-1）为圆心2为半径的圆上，可记为圆D.

又因为点M在圆C上，则圆C圆D的关系为相交或相切.

故1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，解之得0≤a≤ .

说明 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.而本例（2）求圆的方程，用的是轨迹法：到两个定点的距离之比是常数的点的轨迹是圆.

本考点重点考查圆的切线方程和圆的弦长的求法，一般出现在选择题或填空题中，难度不大.

例3 （1）（山东卷）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为（ ）

A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

（2）（江西卷）过点（ ，0）引直线l与曲线y= 相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 （ ）

A. B.- C.± D.-

解析 （1）圆心为C（1，0），设M（3，1），则以线段MC为直径的圆为x2+y2-4x-y+3=0，把两个圆方程相减，得2x+y-3=0就是切点弦所在的直线方程.故选A.

（2）当∠AOB= 时，AOB的面积取最大值，此时半圆y= 的圆心O到直线AB的距离为 .

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x- ），即kx-y- k=0，

于是有 = ，则k=- 或k= （舍去）.故选B.

说明 （1）解决直线与圆的位置关系的有关问题，要充分利用平面几何中圆的性质，使问题简化.一般要求圆心到直线的距离与半径.（2）当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；当与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.（3）对于圆的切线或割线问题，要注意斜率不存在的情况.

本考点主要考查点、直线、圆之间的位置关系，主要出现在选择或填空中，难度中等.

例4 （重庆卷）已知圆C1∶（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2∶（x-3）2+（y-4）2=9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）

A.5 -4 B. -1

C.6-2 D.

解析 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′ 1∶（x-2）2+（y+3）2=1，则|PM| +|PN|=|PM|+|PN′|，由图可知当C2、M、N′ 、C′ 1在同一条直线上时，|PM|+|PN|= |PM|+|PN′|取得最小值，即为|C′ 1C2|-1-3=5 -4. 故选A.

说明 处理和直线与圆有关的最值问题，一般有两种方法，一是利用图形的几何特征，如两点之间垂线段最短，圆中最长的弦是直径等，谓之几何法；二是利用函数思想，建立目标函数求最值，谓之代数法.对于和直线与圆有关的最值问题，通常采用几何法.