巧设“元”解决利润问题

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苏科版初中数学教材九年级上册第98页问题4如下：

某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. 如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1 200元，衬衫的单价应降多少元？

这是一道与利润有关的传统型题目，在生活中有很多问题与它相类似.

一、 课本问题的探究

1. 建立数学模型

首先明确在这个问题中存在的A×B=C的数量关系：单件利润×销售数量=总利润. 所以选择用方程去解决问题最为合适.

其次分析本题中具体涉及的数量关系，因为本题的数量关系较多，所以可以采用列表的形式分析其中的数量关系：

2. 利用模型解决问题

列方程解应用题，一般情况下都采用直接设元，即求什么设什么.

解：设衬衫的单价降x元，

根据题意，得：（20+2x）（40-x）=1 200.

整理，得：x2-30x+200=0.

解这个方程，得：x1=20，x2=10.

答：衬衫的单价降10元或降20元.

3. 基础模型的延伸

在课本例题的问题中，若在题目中增加“若商场需要尽快减少库存”，那么原题答案在符合数学原理的同时，还应满足应用型问题中检验答案的第二个原则——符合实际意义，则课本例题答案中的x2=10就应该舍去，而保留x1=20使得库存尽快减少.

列方程解应用题就是把实际问题转化成数学问题，然后由数学问题的解决而获得实际问题的解决.而列方程解应用题最重要的是审题，审题是列方程的基础，列方程是解题的关键，要在理解题意的基础上恰当地设出未知数，准确地找出数量关系，从而正确地列出方程.

二、 例题的拓展与延伸

某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件. 如果商店销售这批服装要获利润12 000元，那么这种服装售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？（苏科版数学教材第100页习题4.3题9）

【分析】这个问题中的基本数量关系和课本例题一样，所用的分析的方法可以完全按照上题的过程来展开，利用表格分析. 所有的降低（或提高）若干元，销量提高（或降低）若干件的问题，首先应转化成降低（或提高）1元，销量提高（或降低）若干件来表示. 但是本题与上题的区别在于求商品的定价.

方法一：如果按照列方程解应用题的一般习惯来看，直接设这种服装售价应定为x元，那么在这个问题中用含x的代数式表示实际销售数量就是本题的一个难点. 在列式时很多同学搞不清楚何时减50，何时减60.

根据题意，可列方程：

（x-50）800-■（x-60）=12 000.

解这个方程，得：x1=70，x2=80.

x1=70时，该商店应进这种服装600件；

x2=80时，该商店应进这种服装400件.

方法二：不妨采用间接设元法：设这种服装应提价x元，

根据题意，可列方程：

（x+60-50）800-■x=12 000.

这样更容易理解并列出方程，并在解方程时相对比较容易求解.

综合以上两道课本题，在一元二次方程的利润型问题中，无论是直接设元还是间接设元，一般设降价或涨价为未知量较为简便.

三、 中考链接

1. （2012·山西省）山西特产专卖店销售核桃（如图），其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克. 后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克. 若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：（1） 每千克核桃应降价多少元？（2） 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价几折出售？

解：（1） 设每千克核桃应降价x元，

根据题意，得？摇（60-40-x）100+■x=2 240

解方程得：x1=4，x2=6.

答：每千克核桃应降价4元或6元；

（2） 由（1）可知每千克核桃应降价4元或6元，因为要尽快让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60-6=54元，■×100%=90%.

答：该店应按原售价9折出售.

2. （2013·江苏淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元. 按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？

解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：[80-2（x-10）]x=1 200.

解得：x1=20，x2=30.

当x=30时，80-2（30-10）=40（元）

答：她购买了20件这种服装.

3. （2013·山东泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元. 销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出. 如果这批旅游纪念品共获利1 250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

解：设第二周每个旅游纪念品的销售价格为x元，由题意得出：200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+[（4-6）（600-200-（200+50x）]=1 250，

即800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1 250，

整理得：x2-2x+1=0.

解得：x1=x2=1，10-1=9.

答：第二周的销售价格为9元.