由不定方程……(x
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参考文献中“
5121
=125+1759
+1208725
”是5121的第一类好表法，我们通过讨论认为：由于
5121的第一类好表法不是唯一的，该问题就是讨论“不定方程
5121=
1x+1y+1z （x
的正整数解”，并由此得到了讨论真分数的第一类好表法的探讨方法.
命题：若m，n∈N+则不定方程
1x+1y
=mn （x≤y）
（1）
（i）有相同正整数解的充分条件是：
m=1或m=2.
（ii）有不同整数解（x
a，b满足：a>b，a|n，b|n，m|a+b，且其解为：
x=（1+ba）nm
，y=（1+ab
）nm.
证明：（i）充分性：设x=y，代入（1）得
x=2nm，因此
m|2n，由于（m，n）=1，所以
m|2.所以m=1或2.
（ii）充分性：设x，y∈N+，x
mxy=n（x+y.
设
（x，y）=d，x=dx1，y=dy1，x1
得 mdx1y1=m（x1+y1）
因为（m，n）=1，（x1，y1）=1.
所以
（x1y1，x1+y1）=1，x1y1|n，m|x1+y1
取
a=y1，b=x1，
则
a|n，b|n，m|a+b，d=nm
（1a+1b）
所以，x=（1+ba）nm.
y=（1+ab）nm
必要性：设a+b=km，n=aα，n=bβ，k，α，β∈N+，α
得
kmn
=1α+1β，
mn
=1kα+
1kβ.
令kα=x，kβ=y（x
所以x=（1+b a）nm
，y=（1+ab）nm，是
1x+1y=
mn的解，
故命题得证.
由该命题得到：当
mn一定时，不定方程（1）的解仅与
ab有关.
推论：如果a1，b1与a2，b2分别是方程（1）中n的两不同因素，并满足
m|a1+b1，m|a2+b2，
a1b1=a2b2则对应
a1，b1的解与对应a2，b2的解是同解.
由此推论可大大减少方程（1）的运算量，应予以重视.
例1 求不定方程
1x+
1y=
49 （x≤y）的正整数解.
解： 显然该不定方程仅有x
因为9=32有三个因素1 ，3 ，9.
满足4|a+b的a+b有（a，b）=（3，1），（9，3），
由于
ba
=13.
所以x=3，y=9.
下面来讨论
1x
+1y
+1z
=5121
（x
的正整数解.
解：由题意得
1y
+1z
=5x-12121x
3x
>1x
+1y
+1z
=5121
所以25≤x≤72.
当
x=25时，1y+1z
=452×112.
n=52×112有9个因素：1，5，11，25，55，121，275，605，3025.
满足4|a+b的因素有：（a，b）=（11，1），（11，5），（25，11），（55，1），（55，5），（55，25），（121，11），（121，55），（275，1），（275，5），（275，25），（275，121），（605，11），（605，55），（605，275），（3025，11），（3025，55）（3025，275）.
其ba分别为：
111
，511
，1125，155
，111
，511
，111，511
，1275
，155
，111
，1125
，155，
111
，511
，1285，155
，111.
不同的ba的值仅有5个，即：
ba
=111
，155
，1275
，511
，1125.
由此求得（y，z）=（825，9075），（770，42350），（759，208725），（1100，2420），（1089，2475）
再将x=25加上去便得到不定方程的五组解.
同样依次取x=26，27，28，…，72便可以得到
（x，y，z）=（26，351，84942），（26，350，275275），（26，352，50336），（26，363，9438），（27，242，6434），（27，234，84942），（27，297，1089），（30，132，2420），（33，121，363），（33，91，33033），（33，93，37510），（33，99，1089），（34，84，172788），（44，54，13068），（44，55，2420），（45，55，1089）.
综上所述便求得了
5121=1x
+1y+1z（x
参考文献：
[1] 柯召，孙琦.单位分数.