如何学好绝对值

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中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）11-0022-01

绝对值是中学数学的一个重要概念，学好它非常重要。要学好绝对值，除了熟练掌握正负数、相反数和绝对值的性质外，还应掌握绝对值的几何意义，具体来说要注意以下几点。

一、正确判断正负数，准确写出相反数

例1.三个数a、b、c在数轴上的对应点如图1，化简a+|a+b|-|c|-|b-c|=_____。

图1

解：由图1可知c

a+b

原式=a-a-b+c+b-c=0

练习：1.已知a

2.|2x-3|+|3x-5|-|5x+1|

3.||2x-4|-6|+|3x-6|

二、逆用绝对值的性质解题

例2.已知|a-1|=2，|b|=3，且a>b，则a+b的值为______。

解： |=2

a-1=2或a-1=-2

a=3或a=-1

同理可得b=

a>b

a=3，b=-3或a=-1， b=-3

故a+b的值为0或-4

练习：如果|a|=4，|b|=3，且a>b，求a-b的值.

三、利用好绝对值的非负性

例3.已知|a-3|+|a+2b+5|=0，求a+b的值。

解：|a-3|与|a+2b+5|都是非负数，且它们的和为零

a-3=0且a+2b+5=0

a=3，b=-4

a+b=3-4=-1

已知|a-2|+|b-3| +|c-4|=0，求：3a+2b-c

四、注意零这一特殊数

例4.如果|a-4|+a-4=0，那么a的取值范围是________。

解：由已知式可知|a-4|=4-a

a-4与4-a互为相反数

a-4≤0

a≤4

注意：在这里许多同学只重视a-4是一个负数，而忽视了a-4=0也成立这一特殊性，易把答案填为a>4。

练习：1.（1）对于式子|x|+13，当x等于什么值时，有最小值？最小值是多少？

（2）对于式子2-|x|，当x等于什么值时，有最大值？最大值是多少

2.已知：|a-1|+（a-1）=0，求a的取值范围

五、要有分类讨论的思想

例5.求代数式++的值。

解：（1）当a>0，b>0时，

原式=++=1+2+1=4

（2）当a

原式=++=-1-2+1=-2

（3）当a>0，b

原式=++=1-2-1=-2

（4）当a0时，

原式=++=-1+2-1=0

综上所述，所求代数式的值为4、-2和0。

练习：在实数abc中，a+b+c0

则++=

六、熟练掌握其几何意义

例6.求|3-x|+|x+1|的最小值。

图2

解：如图2，设数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为1、3、x，其中C可视为一个动点，这样，此题就可转化为求AC+BC的最小值。由图形可知，当点C在线段AB上时AC+BC最小，此时AC+BC=AB=2，故当1≤x≤3时，|3-x|+|x-1|有最小值，其最小值为2。