浅析“构造法”在数学解题中的应用

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【摘要】 “构造法”是数学诸多解题法的一种，本文结合数学教学实际，通过一些实例阐述了“构造法”在数学教学中的应用。

【关键词】 构造法；概念；应用

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，构造法就是这样的手段之一。运用构造法解题是培养创造性思维能力的一种有效方法。它在猜想、抽象、概括、归纳、类比等重要的数学方法中都有体现。运用构造法解决问题容易暴露思维过程，可以增强学生运用构造法解题的意识。

1、构造法的概念

数学构造法，从广义的角度可以理解为一种思想及构造思想，从狭义角度可以理解为一种方法，即构造法。所谓构造法就是在数学问题中，可以根据题设条件，给予题目中涉及的公式﹑概念及数学关系赋予恰当的实际意义，构造出数学模型，进而谋求解决题目的途径。一般的说构造法包含下面两层意思：（1）利用抽象问题的普遍性，把实际问题转化为数学模型；（2）利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架。【1】

2、构造法的应用

构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，涉及到数学知识的各方各面。当某些数学问题使用通常办法按定势思维去解很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，通常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法、手段，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造法解题的思路。

构造法是帮助发现数学理论和解决数学问题的方法。解题中的作用主要表现在两个方面：一是许多问题本身有构造性的要求，或者可以通过构造而直接得解；二是有些问题需要通过构造出一个与原问题有关或等价的新问题（我们亦称之为辅助问题），并通过辅助问题帮助原问题的解决，这种巧妙构思正是构造法的技巧与魅力所在。【2】

在用构造法解题时，没有通用的构造法则。这里，仅通过实例来说明构造法带来的便捷。

2.1、构造函数

数学中大量存在的各种关系，很多情况下是函数关系。若所研究的问题本质上是一种函数关系，则可将题设条件及题中给出的数量关系构造出一种新的函数，通过对函数性质的研究，使问题得到解决。

例1 求函数 的最大值。

分析：由根号下的式子看出由 ，故可联想到三角函数关系式。

y=sin x + cos x = （θ + π/4）

当θ=π/4，即x=1/2时，ymax=

2.2、构造方程

在数学解题中，根据题目的已知条件和结论、性质与特征，构造出某种数学模型（如方程模型），通过对模型的解释与研究，实现问题的解决， 这是解数学题中常用的思想与方法.即有目的地构造方程，以沟通问题中条件与结论的联系，使问题中的隐含关系明朗化，从而简捷迅速地使问题获解。

例2： 求函数 的解析式

分析：在等式中以

由 联立①② 消去

，构造一个方程得解。

2.3、构造不等式

例3：

分析：

得

有均值不等式定理得

当且仅当 时，取最小值。

要牢记均值不等式处理的条件及掌握"凑形"。

2.4、构造图形

如果问题条件中的数量关系有明显的集合意义或以某种方式可与几何图形建立某种关系，则可通过构造图形，将题设条件及其数量关系直接在图形中得到反映和实现，然后在构造的图形中寻求问题的解答。

例4 求 的值

分析： 联想等腰直角三角新在角为

构造 ，使 ，延长CB到D，使DB=AB

则

2.5、构造数列

根据已知条件，通过构造数列，利用数列的概念和性质找到解决问题的途径，达到解决问题的目的。

例5 已知数列 满足 求通项公式。

分析：此数列既不是等差数列，也不是等比数列，直接很难写出的

通项公式，但是根据已知的递推公式，可构造一个与 有关的新的等比数列，从而求解

由

则 是一个以 为首项，为等比的等比数列

则

2.6、构造模型

构造法所要构造的数学模型是指那些反映特定问题的数学对象及其关系结构的映象系统，是具体、直观、典型的模式，其中也包括各种数学对象，如实数、复数、式、变量、函数、方程、数列、不等式、集合、运算、几何图形等。【3】

例6 5名学生站成一排，求甲、乙必须相邻的排法总数。

解：这个问题比较简单，但它是排列组合中的相邻问题，模型用的是“捆绑法”。先将必须相邻的甲、乙2人捆在一起视为一个元素，于是由原来的5个元素变为现在的4个元素，进行全排列，然后再对甲、乙2个元素进行全排列，所以排列总数为 。

构造“捆绑法”主要用于求解“必须相邻”的题型，而另一种很典型的模型“插入法”，它主要用于“必须不相邻”的题型。

3、结束语