局部处理解题中的策略

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摘 要： 本文介绍了多个可变对象的数学问题，往往解决都比较困难，采用局部处理的方法，不断缩小范围，最终得到整个问题的圆满解决的解题策略。

关键词： 多个可变对象； 局部处理； 缩小范围； 解题策略

中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）09-0139-01

整体和局部是同一事物的两个方面。有些数学问题从整体上处理难以解决时，就必须先研究问题的某一部分，得出初步结论后，再作进一步的研究，从而可使整个问题获得解决。这种研究问题和解决问题的思维方法称之为局部处理。在这里我用局部固定和局部调整两种方法，给出解决多元变量，用局部处理的手段研究问题和解决问题的策略和技巧。

一、局部调整

为了解决一个数学问题，有时可以通过对问题中的部分量作有限次调整而获得，这种方法称为局部调整法。

例1：如图，设面积为M的ABC，P是三角形内一点，过P分别做三遍的平行线QQ1、RR1、TT1，设S为TRP，QPP1，PQ1T1的面积和。求S的最小值，并说明S取最小值时P点的位置。

分析：由于点P变化，三个三角形TRP，QPP1，PQ1T1的三底边TR，QR1，T1Q1都在变化，点P到三底边的高也都在变化，所以面积和S=STRP+SQPP■+SPQ■T■的变量太多，解决难度较大，采用局部调整法解决。

解：由已知得：TRP∽QPP1∽PQ1T1 ∽ABC

所以：■=■=■因为AB是一给定边，S有最小值，即TR2+AT2+RB2有最小值，令AT=a，TR=b，RB=c，AB=L

即：a+b+c=L 故a，b，c中至少有一条线段的长度不大于■，有一条线段长度不小于■，不妨设00，c1=c

则有：记I=TR2+AT2+RB2=a2+b2+c2

I1=a■■+b■■+c■■

I-I1=a2+b2+c2-a■■+b■■+c■■=a2+b2+c2-[（■）2+（a+b-■）2+c2]

=-■+■-2ab=-2（■-a）（■-b）≥0

即：I≥I1

所以I≥I1仿此方法再调整一次得I1≥I2

其中I2=（■）2+（■）2+（■）2=■

■≥■得S≥■，故S的最小值是■

此时点P为ABC的重心。

例2：A，B，C是锐角三角形的三个内角，求U=tanA+tanB+tanC的最小值。

分析：此问题中三个内角都在变化，是一个多变量问题，直接解决难度较大，解题策略为局部调整法，调整步骤如下：

（A，B，C）（60°，A+B-60°，C）（60°，60°，60°）但在每次调整时，应保证U的值不增大，即应有U≥U1≥U2。

解：因为A，B，C是三角形的三个锐角，所以三角种至少有一个角不大于60°，至少有一个角不小于60°。

不妨设0°

则：cos（A+B-120°）-cos（A-B）=-2sin（A-60°）sin（B-60°）≥0

U-U1=tanA+tanB+tanC-tan60°-tan（A+B-60°）-tanC

=■-■

其中分子、分母皆为正数，要证U≥U1，只要证cosAcosB≤cos60°cos（A+B-120°）或cos（A+B）+cos（A-B）≤cos（A+B）+cos（A+B-120°）

或cos（A-B）≤cos（A+B-120°）

即求的结果：

U≥U1，同法可证 U1≥U2

U2=tan60°+tan60°+tan60°=3■

U的最小值为3■。

二、局部固定

有些问题，不确定因素很多，有时它们还受某些条件的约束。在解决这类问题时，可以设法固定某些不确定因素，研究其的变化及对多个问题的影响，已达到解决问题的目的，这就是局部固定的处理方法。

例3：已知锐角ABC的内角∠A>∠B>∠C，在ABC内（包括边界）找一点P，使P到ABC三遍的距离之和最小或最大。

解：在ABC中任取一点Q，设Q在三边上的射影分别为Q、E、F，于是是QE+QD+QF最小值或最大值时点Q即为所要找的点P。

若同时考虑QD，QE，QF的长度，问题涉及的可变对象较多，难于下手。为此，先固定QD长度不变，即让Q在于BC平行的线段B1C1上运动，使QE+QF达到最值，做B1MAC，垂点为M，C1NAB，垂点为N，则AB1C1的面积为SAB■C■=■B1M·AC1=■C1N·AB1=■FQ·A1B1+■QE·AC1。而∠B>∠C，则∠AB1C1≥∠AC1B1，故AC1≥AB1，于是有■B1M·AC1=■QF·AB1+■QE·AC1≤■QF·AC1+■QE·AC1。

即：B1M≤QF+QE 当且仅当Q、B1重合时取等号

同理C1N≥QF+QE 当且仅当Q、C1重合时取等号

因此 QD+QE+QF去的最小（大）值，Q是在AB（AC）上

当Q在AB上变动时，由于∠A>∠B，由上述讨论知三角形定点A是ABC内及边界上到三角形三遍距离之和最小的点P；又由于∠A>∠C亦知顶点C是ABC内及边界上到三边距离之和最大值的点P。

例4：一元二次方程aX2+bX+c=0中的a，b，c满足：

①a>b>c；②a，b，c是1，2，3……9中的自然数，问同时满足上列条件的一元二次方程有多少个？

分析：此题属于变量较多的问题，应采用局部固定的方法处理

解：固定较大的数a，

当a=3时，b=2，c=1 有一个即为1个

当a=4时，b=3，2；c=2，1有1+2=3个

当a=5时，b=4，3，2，c=3，2，1有3+3=6个

当a=6时，b=5，4，3，2，c=4，3，2，1有6+4=10个

当a=7时，b=6，5，4，3，2，c=5，4，3，2，1有10+5=15个

当a=8时，b=7， 6，5，4，3，2，c=6，5，4，3，2，1有15+6=21个

当a=9时，b=8，，7， 6，5，4，3，2，c=7，6，5，4，3，2，1 有21+7=28个

一元二次方程共有1+3+6+10+15+21+28=84个

参考文献：

[1] 中学数学教学参考.西安：陕西师范大学出版社.

[2] 初等数学研究[M].西安：陕西师范大学出版社.

[3] 高中数学竞赛，2010.

[4] 高中数学怎样解题，2010.