让数学解题成为“定向运动”

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1问题提出

最近的一次数学教研活动中，高三教师们都在吐苦水：简单题也不用再讲了，讲了也浪费时间，想要让学生的数学成绩上一个层次，就是要在一些中等难度以上的题目上花功夫，但这些题目讲了效果不大，讲了这个题，下个题学生还是不会做，结果还是浪费时间很多数学教师在这个问题上纠结了很久，这也引起了笔者的反思，究竟该怎样引领我们的学生提高高三复习的效率呢？笔者脑海里闪过一位前辈提过的一个场景：机场登机让学生学会数学解题就如让学生一个人初次去坐飞机，让学生自己去摸索登机流程从而顺利登机而笔者又联想到另一项运动“定向运动”，定向运动就是利用地图和指南针到访地图上所指示的各个点标，以最短时间到达所有点标者为胜数学解题就好比定向运动，给学生一定的解题工具，让学生运用工具以最快的速度达到目的地教师要让学生掌握一些必要的工具，这些工具就好比是定向运动中的地图和指南针等，然后让学生学会通过自己的摸索去找到达到目的地的途径，而且最好是最佳、最短、最快的途径，也就是说寻求最好的方法解决数学问题

目前高三复习中（高一、高二的复习中也存在）普遍存在的现象是教师在课堂上尽可能地讲评例题与习题，学生就会产生这样的疲倦心态：如果我不会做的话没关系，反正作业老师会讲评的所以很多学生对于一些中等难度及以上的题目就存在惰性心理，稍觉得题目难就不做了，等着老师讲解另外还存在作业错误不订正的现象，因为教师在课堂上会竭尽全力的讲评作业，所以很多学生都被动的等着老师讲评，缺乏对自己错误的真正认识等等现象都是数学解题教学中存在的弊端，针对以上这些现象笔者提出一些自己的想法

2帮助学生形成有效的知识组块

认知科学认为，知识在人的头脑中并不是散乱存贮的，而是以“组块”的形式分类保存的面对新的问题，首先要确定“类别”，对“组块”检索，使有关的组块作为有用知识被调动起来，从而为解决面临的问题提供必要的基础大量学习研究也表明，优、差生存在成绩差异的主要原因在于知识组块的数量、质量的区别以及调节策略的应用要科学地建立知识组块，就不能把知识无序的装在大脑中，而应通过分类、比较、联系等途径，使零散知识压缩成更密集的组块，这样，既便于记忆又便于检索，一旦遗忘又易于恢复所谓解题知识组块，是指数学基本命题及其常用衍生性结论，与数学思维的各种方法和招数进行意义联结，从而形成的一种有效组合这种组块就如同家电中的集成块，或拳击家的组合拳，它可以简缩思维形式，加速思维进程，降低思维的“能耗”它具有知识和思维的双重品性，是镶嵌在解题认知结构上的明珠，是解题认知系统得以有效运作的枢纽这种解题知识组块积累的越多、质量越高，那么解题者的解题能力就越强

帮助学生形成有效知识组块的一个较容易操作的方法就是“题根教学”比如在导数应用的复习中，我们可以寻找这样一个题根，然后顺藤摸瓜展开“题根教学”

环节一：题由根生利用函数的单调性证明不等式：ex≥x+1通过一个课本典型例题让学生回忆、熟悉导数在解决函数与不等式问题中的应用，可通过几何画板作出函数f（x=ex-1-x的图像，通过数形结合进一步加深学生的印象

环节二：并蒂连理给出211年湖北理科第21题的（1）：已知函数f（x=ln x-x+1，x∈（，+∞，求函数f（x的最大值让学生通过与课本习题的比较，去思考、发现“这两道题的解题方法是一样的”，而且结果可以互相转化ex≥x+1ln x≤x-1，（x>，数学本质是一样的

环节三：开枝散叶已知函数f（x=（x+1ln x-x+1（Ⅰ）若xf′（x≤x2+ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1f（x≥由符号法则可知，证明不等式（x-1f（x≥的实质就是：当x≥1时，f（x≥；且当

精选高质量的数学题供学生思考

平时教师给学生做的很多数学题目其实质量并不高，这也难怪因为现在的参考资料满天飞，数学教师在繁重的工作强度下也几乎没有时间进行原创与改变题目的工作，所以基本都是统一订购一本参考资料，根据上课的进度，教师让学生做参考资料上的题目，参考资料上的题目并不全都是经过精选的，这就使教师陷入两难的境界，若单纯让学生做参考资料上的题目，就嫌题目质量不高；若是每天都精选题目，又嫌题量不够要解决这个问题可以使用“校本教材”，学校可以根据自己学校的生源编制适合自己学生的例题、习题，第一次编制可能要多花点时间，一旦确定以后就可以一直沿用，根据每届学生的情况稍作调整与修订即可

所谓高质量的题目，主要指的是具有一定难度的、非常规性的数学问题数学问题通常可以分为两种，一种是常规题，有固定的套路可循，按照波利亚的说法，这类题目“只要直接机械的用一下法则或直接机械的模仿一个例子就可以做出来，同时，所要用的那个法则或要模仿的那个例子又放在学生的鼻子底下”；另一种是没有固定套路的问题，往往需要解题者发挥自己的创造性，要培养学生的创造性，就必须解一些没有固定套路的题目这里我们需要注意的是：强调非常规题的重要性并不表示轻视常规题的训练常规问题是基础，登高必自卑，行远必自尔常规问题做好了，才能做更难的非常规性问题；反过来，常规性问题都做不好，却一味挖空心思找难题去做，好高骛远，也注定要失败的我们反对的是让学生做大量重复性的题目，因为这只会扼杀学生学习数学的兴趣，妨害他们的智力发展因此，对于高质量的数学题应考虑以下三方面的要求：一方面，最好每一道题都有一点新意，要做一些有变化、带技巧的题，以掌握更多的新方法、新技巧，决不要老是简单的重复做那些已经掌握了的习题；另一方面，必须做一些含有推理、论证的问题，因为这种问题比一般的计算题、求解题难度大，更有利于增长智慧；第三方面，按照波利亚的思想，要做一些“通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”的题目，当然，这样的题目为数不多，从解题学习的角度来看，并不具有普遍意义，不过波利亚就此发表的教学主张，倒是极富有启发性，即教师抑或学生不要穷于应付过量的题目，要集中力量于某几个真正有意义的问题，通过发掘问题的各个方面，从容不迫且彻底地讨论它们

4引导学生独立开展解题活动

定向运动的一个主要特点就是要让学生依靠自己的能力达到目的地，解题也是一样的道理，一定要让学生进行独立思考在教学实践中经常可以发现，有些学生平时一听就懂、一看就会，但真正到考试解题时，往往一做就错，甚至于干脆无从下手，这多半是由于学生缺少独立解题的经验所致在日常学习中，有些学生往往没作深入思考和分析，就急于求助答案或老师和同学，表面上来看省时又省力，似乎效率非常高，但却无法真正领略到解题过程的精髓寻求问题的解决不能教会，而只能自己学会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明等一系列思维过程，都需要学生通过自己的独立活动来亲身经历，任何其他人都无法代替，“越俎代庖”的结果必然是学生思维独立性的丧失因此，从某种意义上讲，“无备课”式的解题教学具有很大的合理性，这听上去似乎有点“离经叛道”，教师怎么可以不备课呢？但是让我们细想一下吧！教师对于习题课准备的越精细，课前精密筹划，往往就会不自觉地影响其在课堂上的现场独立发挥，学生就很难看到教师解题的真实思维过程，其教学意义也就会大打折扣

笔者认为这种“无备课”式解题教学可以借助于“说题”“说题”可以分为两个角度，一个是学生的说题，一个是教师的说题数学教师可以尝试在无任何准备的情况下上习题课，也就是和学生一起解题，当然这需要数学教师有相当扎实的专业知识与基本功教师和学生一起“说对题目的理解”（包括条件、结论、关键词等）、“说解题思路”、“说计算的技巧”等等，教师可以和学生一起探讨解题的方向，大家可以有共识，也可以有不同的看法与声音，然后教师在黑板上演算，学生在下面演算，最后再探讨最优解决方案在达成共识之后，可以继续“说变式”、“说延伸”、“说其他方法”等等

正如波利亚所指出的：“学生应当获得尽可能多的独立工作的经验……教师应当帮助学生，但不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量，……如果学生没有能力做很多，那么教师至少应当给他们一些独立工作的感觉”

让学生独立开展解题活动的另外一个重要意义是：现成的解答未必是最好的解答“尽信书，则不如无书”单教授曾指出：“应该自己睁开眼睛看，切莫被人牵着鼻子走如果有别人的或书上的问题解答，千万注意不可盲从，很多现成的解答并不是最好的解答，有的甚至十分拙劣，与其被这种解答牵着走，不如自己去想”其实我们数学教师也要注意这一点，因为现在的“教师用书”都是有答案提供的，虽然从某种意义上节省了时间，但也容易禁锢我们的思维，其实我们也经常发现答案并不是最佳的，往往我们自己想出来的方法更佳同样的情况也发生在学生身上，所以我们尽量不提倡学生看答案，特别是在没有经过任何思考的情况下看答案

将更多心思留于解题之后

现在很多学生做数学题目存在的很大弊端是一旦把题目做完（事实上也可能并不完全是自己做出来的）就完事了，恐怕以后也不会再翻出来了，即使以后做到类似（甚至是一模一样）的题目，也可能想不起来曾经做到过，跟新题目一样对待这种现象就归结为缺乏解题之后的反思，其实解一道题并不重要，重要的是解题之后的反思古人云：学而不思则罔，思而不学则殆我国著名数学家华罗庚先生曾经指出，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”，前者是“量”的积累，后者是“质”的飞跃著名数学家弗赖登塔尔曾精辟的指出：没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平所以我们应指导学生将更多的心思留于解题之后的反思

反思在一定程度上是自我“揭短”的过程，是诱发痛苦的行为，缺乏毅力者很难顺利进行反思，因此我们应当给学生提供一个反思的大环境比如利用习题课的机会，让尽可能多的学生围绕自己数学解题后的反思情况进行阐述，反思情况比较好的学生的阐述可以起到示范作用，对其他同学是一种引导和激励，不善于反思的学生可以受到启发，有所借鉴交流的内容包括自己反思的题目类型、题目中所包含的知识点及数学思想方法、自己提出了哪些问题及相应的解决措施、反思后的收获等这样不但可以使学生相互进行知识上的弥补，而且产生了一种积极的心理暗示：我会反思得更好有利于学生养成解题反思习惯

譬如这样一个问题：已知函数f（x=x2+2x+ax，x∈[1，+∞，若对于任意x∈[1，+∞，f（x>恒成立，求实数a的取值范围对于这样的题目很多教师都有这样的感觉：学生做了错，讲了还是错，而且是反复的错我们可以尝试多给学生点时间进行反思：我们曾接触过f（x>恒成立的问题，是将其转化为二次函数判别式的问题加以解决，对这道题，还是先采取以前的方法，即当x∈[1，+∞时，f（x>恒成立就是g（x=x2+2x+a>恒成立，只需Δ1，但把a=代入，f（x>也恒成立，出现问题了，什么原因？然后反思整个解题过程，发现问题在于题目只限制x∈[1，+∞时，f（x>恒成立，而如果令Δ恒成立，扩大了范围通过这样的反思，让学生意识到只有处理当x∈（-∞，+∞，f（x>恒成立的问题时，归结为判别式的问题加以解决就可以了，而对于x有特定范围的问题，最终应转化为最值问题加以解决这样的反思也可以通过撰写反思日记实现，通过解题后的反思可以开拓学生的视野，使学生的思维逐渐朝着灵活、精细和新颖的方向发展，在对问题本质的认识不断深化过程中提高学生的概括能力，以促使学生形成一个系统性强、相互联系的数学认知结构

6让学生真正认识到自己的错误

数学解题过程中出现错误是在所难免的，关键在于以后要尽量避免出现同样的错误数学教师有这样的体验：若是学生能够把所有做过讲过的题目都能记住，避免出现同样的错误，那么他的数学成绩肯定不会差，而且会很好但是这样的学生少之甚少大部分学生都会重蹈覆辙，掉进同样的陷阱；或者原来不会做的题如今还是不会做所以数学教师要让学生真正认识到自己的错误，比较容易操作的方法就是让学生整理错题集，每周一定要留出一两天时间布置学生做整理错题的作业而且教师还要整理学生平时经常出现的错误，定期交替性的布置“易错题”练习，让学生隔段时间就做做以前出现的错题类型，实践证明，这种间歇性、循环性的“易错题”练习是有效果的笔者曾经做过实验，教师整理出第一周的错题类型，第二周结束时布置下去让学生完成，第三周将第二周整理出来的错题类型布置下去……如此循环，一个月结束时，将前一个月的“易错题”选择部分整理出来，再布置下去让学生完成，第二个月结束时将前两个月的“易错题”选择部分整理出来，再布置下去让学生完成……如此循环这种循环模式效果较好，再配合学生根据自己的实际情况整这种“错题整理”与“易错题”练习模式能够让学生真正认识到自己，所以数学教师不要盲目布置作业给学生，作业题目要经过精选，涉及重要数学知识点与数学思想方法的题型要重点练习，容易出错的题型也要重点练习，要多留点时间给学生整理自己的错题从某种意义上说，整理比做新题更重要，学生从整理的过程也会得到新的启发，整理其实也是一种反思的过程

7尾声

让数学解题活动成为“定向运动”，也就是让学生学会独立的思考，探寻解题途径，通过反思产生顿悟，顺利达到解决问题的成功彼岸“定向运动”并不只是靠充沛的体力，若光有体力而不用大脑也是无法完成“定向运动”的就像“定向运动”的训练，解题训练并不代表盲目的、机械式的题海战术，盲目的训练只会让学生成为光有解题意识而无解题思维的无头苍蝇，从而在解题的路途中迷路教师要持之以恒的对学生加以合理科学的解题训练，让学生在有效的解题训练中思维得到真正的历练，解题能力得到真正的提升，也让学生真正感受到解题带来的成就感，以激励学生在数学考试中取得满意的成绩

作者简介俞昕，女，中教高级硕士主要研究方向：数学文化、数学校本课程等