例谈v-t图像的妙用
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笔者曾遇到过这样一道物理题：一个做匀变速直线运动的物体，第2s内的位移是5m，则前3s内的位移可能是：（ ）。
A.大于15m B.小于15m C.等于15m D.无法确定
初看此题，用匀变速直线运动的平均公式处理比较简单：由==v可知，第2s内位移是5m，则第2s内平均速度是5m/s，即在t=1.5s这一时刻的瞬时速度，进一步推论，在前3s内中间时刻的瞬时速度是5m/s，因此得出前3s内平均速度是5m/s，故前3s内的位移是15m。
此种方法无论匀加速还是匀减速，只要前3s内物体一直运动着即可成立。但如果物体做匀减速直线运动，在第3s内已停止，那么位移是否小于15m呢？这种情况如直接用公式很难得出结论，但借助于图像却较为容易而且直观。现笔者谈一下具体方法：
v-t图像不仅能反映匀变速直线运动的规律，而且可变相求得位移，即所谓的“面积”。因而就本题可以画出包括下列五种情况的匀变速直线运动：（1）v=0的匀加速直线运动；（2）v≠0的匀加速直线运动；（3）至第3s末恰停止运动的匀减速直线运动；（4）匀减速直线运动至3s末仍未停止；（5）匀减速直线运动未至3s末即停止。
由图像直接可以看出：（1）（2）（3）（4）四种情况下，物体运动的位移一定是15m。
情况（5）较为复杂，我们借助（3）中所画画两条辅助线，如图所示，由数学知识可得，所围面积多了vv′p的面积，则可知当在第3s内已停止运动时，前3s内的位移大于15m。
可见，巧用v-t图像，不仅可以使一些运动学问题的求解简单明了，而且可以解决一些运用公式法无能为力的问题。
运用v-t图像解题，首先要搞清图像的意义，图像代表速度随时间的变化规律，图像上某点的斜率代表对应时刻的加速度的大小，图像与坐标轴围成的图形的面积代表位移的大小，两图像的交点仅表示这时刻两物体的速度相同。
一、比较物体的运动时间
例1：如图１所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相同，两球由静止从顶端滑下，若球在如图所示的斜面上的转折处无能量损失，则两球谁先滑至底端？
解答：由于两斜面光滑，高度相等，因此，两球滑至底端时的速度大小相等，B球在斜面上C点之前的加速度大于A球的加速度，在C点之后的加速度小于A球加速度。又因为两斜面长度相等，即两球下滑的路程相等，故两图像下的面积相等。这样，作出两小球的速度图像如图1′所示，由图像可以看出：t
二、比较物体的速度
例2：一个物体做匀变速直线运动，在一段时间内通过一段位移。若在这一段时间的中间时刻的速度为v，在经过这段位移的中点时的速度为v，则v和v大小关系如何？
解答：匀变速直线运动分匀加速和匀减速两种情况，现分别讨论如下：若物体做匀加速运动，可作出o-t时刻的速度图像，如图2（a）所示，这段时间的中间时刻t/2的速度为v，将梯形otvv分成面积相等的两部分，则分割线对应时刻t′在t/2之后，对应速度v大于v。同理可知，物体做匀减速运动时，亦有v大于v。
三、比较物体的加速度
例3：如图3所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧连接，置于光滑水平面上，弹簧处于自然长度，现在用水平恒力F推木块A，则在弹簧第一次被压缩至最短的过程中，当A、B速度相同时，谁的加速度较大？
解答：在弹簧压缩过程中，A做加速度减小的加速运动，B做加速度增大的加速运动，可定性作出它们的速度图像如图3′中的A、B所示。它们的交点为C，此时两物体速度相同，而可以看出B在该处切线的斜率大于A的斜率，即此时A的加速小于B的加速度。故速度相同时，A的加速度小于B加速度的速度。
四、计算功的多少
例4：在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原出发点，此时物体的动能为32J。则整个过程中，恒力甲、乙做的功各是多少？
解答：物体在甲恒力作用下匀加速运动，在乙恒力作用下匀减速运动，设甲、乙两恒力的作用时间各为t，甲力结束作用时物体的速度为v，回到出发点时物体的速度为v。由此，可定性作出物体在2t时间里的的速度图像如图4（a）所示。若设想，在乙恒力作用的同时，甲恒力反向作用在物体上，为使物体的运动与原先等效，应在乙恒力方向上再增加一个与甲恒力相同的力，则在2t时间里，由运动的合成知识，可作出物体运动的速度图像如图4（b）所示。依题意，图像与t轴围成的面积应为零。
由图4（b）有：(v×2t)=(v×t)，则v=2v。又由题意有：E=mv=32J，由此得：mv=8J。由动能定理有：W=mv=8J，W=mv-mv=24J。
五、综合运用
例5：一颗速度较大的子弹，水平击穿原来静止在光滑水平面上的木块。设子弹对木块的阻力恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是（）。
A.木块获得的动能变大
B.木块获得的动能变小
C.子弹穿过木块的时间变长
D.子弹穿过木块的时间变短
解答：子弹以初速度v穿透木块过程中，子弹、木块在水平方向均受恒力作用，子弹匀减速运动，木块匀加速运动。因此，可定性作出穿透过程中木块、子弹的v-t图像如图中实线A、B所示，图中OA、vB分别为穿透过程中，木块、子弹的速度图像，图中梯形OABv的面积为子弹相对木块的位移，即木块的长度。当子弹入射速度增大为v′时，穿透过程中二者的相对位移（梯形OA′B′v′的面积）仍是木块长度，即梯形OA′B′v′的面积与梯形OABv的面积相等，所以木块、子弹的速度图像将如图中的OA′、v′B′所示。显然，由图像可以看出，当子弹的速度变大时，木块获得的速度变小，即获得的动能变小；子弹穿过木块的时间变短。故本题正确选项应为B、D。
在处理问题的时候，学生往往认为计算比用图像得到的结果更准确，事实上图像法是一种重要的普遍应用于各个领域的科学研究方法，用图像能更形象直观、简洁明了地处理问题，自觉地将数与形结合起来并用于分析问题，这更是需要培养的一种重要能力。
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