研题的思考与实践

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当代美国著名数学家哈尔莫斯（Paul Halmos）认为，问题是数学的心脏，数学真正的组成部分是问题和解著名数学教育家波利亚（George Polya）指出，中学数学教学的首要任务就是加强解题训练，要把解题作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些模式题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发现创造的题.

作为教育任务的研题，主要包括研究怎样命题、怎样解题、怎样讲题这三个方面在基于学生、促进学生发展的指导思想下形成一个有机的整体研究怎样命题，有助于提高教师提出问题的能力，为培养学生提出问题的能力打下坚实的基础通过命题，研究题目的来龙去脉，教师学会命题的方法研究怎样解题，有利于提高教师解题能力，同时预设、估计学生可能采用的各种解题方法，为讲题、科学指导学生解题作好必要的准备研究怎样讲题，有助于提升教师把学术形态的数学转变为教育形态的数学的能力，通过讲题教学实践活动，丰富教师的数学教学内容知识（MPCK），增长教学的实践性智慧从命题、解题、讲题这三个方面来研究数学题是实现教师专业成长的重要途径笔者在教学研究中，对一个数列问题作了一些思考和探索，现整理成文与大家交流，以期引起广大的一线教师重视开展数学研题活动，实现专业成长.

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命题

戴再平先生认为，编制习题是数学教师必备的一项基本功根据教学的实际情况，需要改造旧题，创造新题，编制出各种例题、练习题、思考题和试题如果一味照搬成题，特别是在考试中，就难以准确地评价学生的水平，因此教师必须具备编制习题的能力，掌握独立地创造新题的方法.

通过学习、研究已有的题目，把握核心思想，发展、适度创新编拟出新的问题，形成情境、背景公平的数学试题，以测试学生在新的情境下解决问题的能力在一次四星高中（重点中学）的高一数学期末考试命题时，研究了下面两个题目：

这两个题目都是将等差、等比数列交织组合在一起的数列问题借用这种命题的思想，将公比为3的等比数列2，6，18，54，…插入到公差为2的等差数列1，3，5，7，9… 中，交织组合在一起形成新的数列1，2，3，6，5，18，7，54，9…，以适度增加问题复杂性，从简单到复杂是命题的一个重要手段第（1）问要求求出数列{an}的通项公式，考查等差、等比数列的基础知识观察这个数列，提出了第（2）问，进一步观察这个数列，结合要考查知识点求和公式提出了第（3）问探究性问题，最终形成下面的试题提出3个问题，目的是让不同层次的学生都有所作为.

2解题

著名数学教育家单指出：“实践证明，数学教学的好坏，取决于教师的素养，尤其是他的数学水平，如果数学水平较差，根本不能独立解题，那么无论怎样‘改进’教法，恐怕也是无济于事的”不论是命题，还是讲题，都离不开解题活动命题的过程中要检验题目是否符合学生的实际水平、能否实现考查目标、题设条件是否矛盾、解题的过程是否繁简等等，这些都必须在解题目的过程中才能发现为了要讲题，教师在备课时自己要独立解题，想学生可能采用的各种解题方法，研究解题过程中的关键、难点所在，方法的由来，为启发点拨学生作好充分的准备数学教师的解题与数学家解题的最显著的区别是，教师的解题时时刻刻考虑到学生的想法鉴于本题的解题方法在讲题中都有所涉及，在这个部分不重复叙述.

3讲题

著名心理学家奥苏伯尔说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么要探明这一点，并应据此进行教学”调查学生的典型解法和错误，分析这些解法的来源以及错误的根源，是开展讲题活动的主要依据这样的讲评才会有较强的针对性、目的性，从而取得较好的教学效果现在不少地方实现了网上阅卷，为调查学生的答题情况提供了极大的方便本题是最后一道试题，满分16分，平均得分只有62分，从学生心理上来分析，学生有畏惧压轴题的倾向，没有形成跃跃欲试的良好的解题心态，自信心不足试题讲评，不仅仅讲知识方面的，也要分析心理方面的通过教师润物细无声的讲解，帮助学生树立独立解题的信心，让学生在自己的一次次独立解题成功中强化自信心.

第（1）问学生解题中存在的主要问题是，中下等的学生不能归纳出{an}的通项公式，比较与整合的能力较差，这部分学生我们尤其要关注，试题讲评要面向全体学生，让人人有进步、有发展在教师的引导下，在比较中实现整合第（2）、（3）问存在的主要问题是由特殊得出猜想，没有给出一般的形式化的演绎证明教师首先肯定学生已有的探索成果，然后指出不足引领全体学生，观察特殊情况，引发猜想，再进一步证明，体验直觉、合情推理在数学发现、证明中的作用，感悟形式化演绎证明的力量，从感性认识上升到理性认识

师：我们首先来研究第（1）问，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则可以写出数列{an}的前9项1，2，1+d，2q，1+2d，2q2，1+3d，2q3，1+4d

师：请一个同学到黑板上完成第（1）问的解题过程.

师：这种数列的重新组合其实质是数列项数的变换.

师：接着我们来研究第（2）问，请同学们说说你的想法.

师：请说说你的详细的想法.

生4：当m为奇数时，找不到这样的m，当m为偶数时，好象只有m=2.

师：同学们说说你对生4的这种解法的看法.

师：生4观察数列提出猜想，生5给出了严密的证明.

师：最后我们来研究第（3）问，要判断S2mS2m-1恰好为数列{an}中的一项，怎么办？

师：同学们说说他用了怎样的求和方法.

生7：分组求和，将整个数列分成等差和等比数列两组，分别求和.

师：是否有更简洁的求S2m-1的方法？

生10：这是一个分式，对分式进行分拆.

师：请到黑板上写出具体分拆的过程.

师：你怎么想到使用分拆这种方法的？

师：分拆的目的是什么？

师：请说说你的理由.

师：上述就是用判定函数的单调性的方法来研究数列的单调性证实了生15的直觉：指数式比二次式变化得快.

师：同学们，有没有想到其它的方法？

综上，存在正整数1，使得S2S1恰好为数列{an}中的第三项；存在正整数2，使得S4S3恰好为数列{an}中的第二项

师：题1、题2、题4作为补偿练习.

题4已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列数列{an}前n项和为Sn，且满足S4=11，a4=3a3.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}前2k项和S2k；

（3）在数列{an}中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值，若不存在，说明理由.

4一点感悟

通过研题活动发展教师的数学观和教学观，数学不是真理的简单的累积，而是人类的一种创造性活动，数学主要是一种探索性的活动，并包含有错误、尝试与改进的过程，而且必然地处于一定的发展变化之中因此教师认识到学生对数学的理解有一个过程，学生学习数学是逐步深入的，不可能一步到位，从而重视数学教学的发展性与过程性教学不是向学生呈现“冰冷的美丽（Ice Beauty）” 的学术形态，而是要把这种“冰冷的美丽（Ice Beauty）”通过教师的教学，变成学生的“火热的思考（Hot Thinking ）”的教育形态著名数学教育家波利亚指出：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像一门系统的演绎科学，是理论的形态，但从另一方面看，创造过程中的数学，看起来像一门试验性的归纳科学直觉与逻辑、合情推理与演绎推理，这些矛盾和冲突，是发展学生认识能力的动力，学生正是在处理这些矛盾的过程中，思维得到发展教师通过分析学生的数学现实，了解学生可以独立地做到什么，开展讲题活动，提高教学的有效性和针对性对于学生的不严密推理，看似无道理的想法，教师不应该仅仅评论，更不应该训斥，要给他们以切实的帮助，通过教师的逐步引导以及示范教师的思考过程，让学生从不严密走向严密，体验数学的规范性成分，从而学会思考建构主义认为：学生学习的过程是一个根据已有知识和经验主动建构的过程，因此，在讲题过程中要充分尊重学生是学习的主体，发展学生的元认知，让学生自我意识、自我调整、自我评价与反思指导学生把自己经历的解题过程作为一个整体对象来反思，反思自己在哪些方面没有独立想得出来，通过再次写出具体的解题过程，想自己在哪些方面是不熟悉的，努力把每一个细节都想清楚，在反思中消化、提炼过程并升华数学学习是一个反复的过程，同类型题目要反复做，以达到熟练，把握其中的奥妙，看清问题的本质，达到精通此类问题，这样再遇到类似的题目就可以独立解题在复杂的问题情境中，通过读题展开丰富的联想发散，选择合理的解题途径，利用条件化、结构化、自动化、策略化的知识解决问题.

作者简介张乃贵，1966年生，男，江苏兴化人，教育硕士，中学高级教师，江苏省中学数学特级教师，主要从事中学数学教育、初等数学、数学竞赛研究，在《中学数学杂志》等报刊杂志300多篇.