紧扣分数意义 靠紧数学思想

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解决有关分数的实际问题一直是学生的一大难点。究其主要原因，笔者认为：一是因为分数的意义太抽象，学生难以理解；二是因为教师不是引导学生根据分数的意义进行教学，而是要求学生依据教师总结的“秘诀”解题：单位“1”的量×对应分率=对应的量；单位“1”的量已知时，用乘法算，未知时，用除法算。学生死记硬背、生搬硬套，导致似懂非懂、错误率高。在实施《数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）的背景下，如何破解这一难点？笔者认为，紧扣分数意义，靠紧数学思想，才是真正的法宝，具体分四步。

一、说清意义

新课标指出：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。学生学习数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。理解分数的意义是解决有关分数实际问题最重要的基础和前提。所以，在解答前，教师应引导学生仔细审题，理解题意，具体说清：题中的分数究竟是哪个量相当于哪个量的几分之几，据此确定把哪个量看作单位“1”的量，把单位“1”平均分成多少份，另一个量有这样的几份。如一瓶果汁100毫升，喝了这瓶果汁的，喝了多少毫升？显然，此题是把100毫升果汁看作单位“1”的量，把它平均分成4份，喝了这样的1份。有些题含分率的句子是省略句，单位“1”的量比较隐蔽，需要教师先引导学生把题意补充完整，再具体说明分数的意义。如下面一道题：

题中的“其中是月季花”是指：月季花的棵数占总棵数的，或者说总棵数的是月季花，据此确定单位“1”的量是花的总棵数“84”，把它平均分成6份，月季花的棵数占这样的1份。再如：

“红花比黄花多”是省略句，学生不易理解，特别需要教师帮助破解。它是指“红花比黄花多的朵数是黄花的”，据此确定单位“1”的量是黄花朵数，把它平均分成10份，红花比黄花多的朵数是这样的1份。有些题含有分率的句子省略得更多，更需要教师引导学生把它扩充完整，以便其准确理解分率的意义。如一件毛衣，原价56元，现在降低了。降低了多少元？这里的“现在降低了”是指“现价比原价降低的价钱是原价的”，据此确定把原价看作单位“1”的量，把它平均分成7份，现价比原价降低了的价钱是这样的2份。

因为分数既可以表示分率，又可以表示具体的数量，所以学生特别容易混淆，教师还要引导学生通过题组练习进行对比，使学生具体理解每个分数的意义。如：（1）一瓶牛奶2升，喝了升，还剩多少升？（2）一瓶牛奶2升，喝了，还剩多少升？题（1）中的“升”是个具体的数量；题（2）中的“”是分率，是指“2升的”。

二、画明意义

新课标重视数学思想的获得和感悟，重视解决问题的过程和方法。为了帮助学生形象地理解抽象的分数意义，感悟数学思想方法，根据小学生思维的特点，可引导学生画出分数的意义，从而沟通抽象概念与具体形象的有机联系，使数量关系“可视化”。实践证明，数形结合是解决有关分数实际问题的有效策略。为此，要多引导学生联系实际、多画图理解题意，以感悟这种解决问题的思想方法。

画图时，教师仍要引导学生紧扣分数的意义。一般地，先画“1”的量，再把单位“1”平均分成几份，另一个量有这样的几份。开始画时，教师要进行具体的指导，逐步从示范画，到扶着画，再到学生独立画，力求把题意画清楚、画准确、画全面，以便快速地发现数量关系（当然，有时画出示意图也行）。有时，题中的几个量是部分与整体的关系，这时一般就画在一条线段上。如上述“月季花”题，可引导学生画出如下线段图：

有时，题中的几个量是并列关系，这时一般就要分别画几条线段表示。如上述“红花”题，可引导学生画出如下线段图：

有时，题中单位“1”的量不止一个，一般地就要分别画单位“1”的量（例略）。其实，画图的过程是进一步理解题意的过程，也是培养学生良好的审题习惯的过程，教师务必切实重视，切勿嫌费事、怕麻烦。画图时，要引导学生经历从慢到快，从画准确图到画示意图，从在纸上画到在脑中画的过程，以便逐步发展学生的抽象思维，使其感悟数学思想方法。

三、写对意义

新课标注重发展学生的模型思想，指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在解决有关分数的实际问题时，用得较多的是模型思想。这里的模型，是指根据分数的意义写出数量关系式，建立数量关系模型。显然，在解决有关分数的实际问题时，建模是关键。为此，一定要凸显模型思想，并有机渗透对应和转化思想，做到所求问题与图对应，与数量关系模型对应。要引导学生根据一个数乘分数的意义，逐步感悟到：一般地，用单位“1”的量×对应分率=对应的量，从而把用分率表示的相对量转化成用单位“1”的量表示的相对量。在学生熟练地写出基本数量关系模型的基础上，还要引导学生发现更多的关系模型。当然，并不要求学生一下子全部写出，要因人、因时而异，循序渐进，逐步提高。如上述“果汁”题，基本关系模型有：喝了的果汁体积÷果汁体积=，果汁体积×=喝了的果汁体积；另有：果汁体积×=剩下的果汁体积，果汁体积-果汁体积×=剩下的果汁体积等。上述“月季花”题，基本关系模型有：月季花棵数÷总棵数=，杜鹃花棵数÷总棵数=，总棵数×=月季花棵数，总棵数×=杜鹃花棵数；另有：总棵数×（+） =月季花和杜鹃花共有的棵数，总棵数×（1--）=其他花的棵数等。

根据所求问题和所对应的关系模型，就可以直接用代入法解决问题。教师要引导学生发现：一般地，单位“1”的量已知时，可以把它直接代入对应关系模型进行计算；单位“1”的量未知时，仍要依据关系模型，用方程解答，从而变逆为顺，充分体现数量关系模型的价值。如青云小学十月份用水440立方米，比九月份节约。九月份用水多少立方米？此题学生容易误认为：十月份比九月份节约，九月份就比十月份增加。其实，题中的“”表示十月份比九月份节约的用水量是九月份的。由此确定单位“1”的量就是九月份的用水量，把它平均分成5份，十月份比九月份节约的用水量是这样的1份。据此画出如下线段图：

显然，题中的关系模型有：节约的用水量÷九月份用水量=，九月份用水量-十月份节约的用水量=十月份用水量，九月份用水量×（1-）=十月份用水量……题中单位“1”的量未知，可以用方程解答：设九月份用水x吨，那么十月份比九月份节约用水（x）吨。于是，根据上述关系模型分别列方程为：（x-440）÷x=，x-x=440，x×（1-）=440……解得x=550。

四、回扣意义

新课标重视学生的自我评价和反思。在“课程基本理念”的学习评价中指出：评价既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。在第二学段“解决问题”中指出：能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。检验是培养学生做事认真负责、严谨细致，养成自我评价和反思意识的有效手段，不仅是一种好习惯，也是一种好品质，是解决问题的必要步骤。现在，检验常被教师忽视，导致学生的检验意识特别淡薄。所以，要切实重视检验。为此，教师要有意识地引导学生进行检验，看结果是否符合题意，尤其要看是否符合题中分数的意义，以巩固和深化分数的意义。如上题，检验时着重看“十月份是否比九月份节约”，可以用（550-440）÷550，看商是否等于。当然，还可用其他方法进行检验。

当然，上述四步也不是绝对的、僵化的教条，教师完全可以引导学生进行简化，或并步走，如合并第一、二步，或在脑中“走”，或熟练时直接列式，但不管怎样，都要紧扣分数意义，靠紧数学思想。实践证明，这样做学生容易理解和掌握，正确率高。由此想到，在解决百分数、比等问题时，又何尝不可如此呢？

（江苏省高邮实验小学 225600）