感悟不等关系的探究之旅

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在2013年“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动江苏宝应中学赛点，有9位教师进行了同课异构的教学展评，课题是苏教版必修5《不等式》第一课《不等关系》。每位教师的课都有自己的特色，让我们看到了在新课改引领下青年教师成长的喜人局面，也充分展现了本次展评活动“以学定教，学教相长”的教学特色。下面对张家港崇真中学刁克老师的课，谈几点看法，一管之见，供同仁参考。

一、几点特色

刁老师的课很有生活气息，他成功地将学生带入充满不等关系的“观影之旅”，在具体情境中，他扮演了“导游”角色，引领学生经历了一个又一个不等关系的探究。本课也很有“数学性”，在处理生活中不等关系的过程中，积极引导学生用数学模型来思考问题，增强了学生将生活问题数学化的意识和能力。

1.生活引领：以生活经验为基础，感知不等关系。

本节课以一个观影之旅为主线，创设了生动的系列化的问题情境，并通过围绕不等关系的问题链，引导学生观察分析、自主发现、合作探究，感悟和提炼生活中的不等关系，为构建学生的数学认知结构奠定了基础。

2.导问引领：以问题为中心，探究不等关系。

刁老师在引出课题后，通过3个问题以及思考题构成的问题链，进一步引领学生发现生活中存在的“不等关系”，并用数学语言将其数学化，营造探究问题的自主学习氛围。

“问题1”的设计意图在于，突出一元一次不等式数学模型的具体应用，思考题是“问题1”的拓展，它可以强化学生分类讨论的意识，提高学生应用不等关系进行思辨的能力。通过处理思考题中的两种方案，提高了学生分析数据、利用不等关系进行决策的能力。

“问题2”的设计意图在于，引导学生理解和掌握用一元二次不等式数学模型解决实际问题中的不等关系问题，同时引导学生从变量设法的不同，来理解和选择解决问题的方案，培养学生解决不等关系问题的灵活性。

“问题3”引导学生学会了根据题目建立多个不等条件和同时成立的不等关系模型，可以让学生学会根据题目准确地列出二元一次不等式组，为后面利用线性约束条件解决目标函数问题做好铺垫。

这三个问题环环相扣，分层递进，使学生对不等关系的认识由浅入深、由表及里，使学生的探究逐步走向深入，强化了运用不等式模型解决不等关系的意识，学生的数学化的能力得到提升。

3.活动引领：以形成思维模式为目标，建构不等关系。

刁老师的课堂很注重学生的参与，每个问题提出后，他均能有效地组织学生活动，让学生在交流中互补，在交流中建构数学模型，在交流中培养学生发现不等关系的能力。他通过有效的活动实现了思维建构、知识建构与数学模型的建构，通过分组合作学习探究，解决了3个实际生活中的不等关系问题，让学生获得了“一元一次不等关系的数学模型”“一元二次不等关系的数学模型”“二元一次不等式组（线性约束条件）的数学模型”。

4.展评引领：以生生合作、师生合作为推手，感悟不等关系。

刁老师的课堂注重通过学生的展示与教师的点评相结合的方式来促进学生进行反思与感悟。例如他追问这样一个问题：《西游记2》剧组为影片上映做宣传，准备制作宣传海报，已知宣传海报由钢管支撑，要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

对该问题，学生讨论得很热烈，刁老师在请了两名学生上黑板展示后，告诉学生在实际建立不等关系时，第一要注意不等关系必须符合实际意义，第二要注意所设未知量的单位。这一环节，有学生自主学习成果的展示，也有老师引导下的自觉感悟；有合作学习带来的广泛思考，也有老师引导下学生数学知识的主动建构所带来的感悟；有学生展示带来的智慧操作，也有学生通过自己的操作带来的对数学活动经验的感悟。

二、几点建议

1.让列举不等关系的过程成为深度感知的过程。

本节课学生从自己的生活中发现了很多不等关系，但是这些不等关系，在初中学习不等式时也常常涉及到，因此，仅举这些实例还缺乏深度和广度。教学中，我们要从不同维度和不同领域引导学生列举“不等关系”，如：从生活中、从生产实践中、从科学实验中、从学过的数学中（图形中的不等关系、函数的单调性、正余弦函数的有界性等）去寻找不等关系，将教学与学生的经验结合起来，让学生的学习成为有意义的学习。

要让学生经历必要的认知过程，即感受不等关系的情境，产生用数学刻画不等关系的认知倾向，形成问题提出、探究分析、再数学建构的过程。

加强比较教学，要体现建立相等模型与建立不等模型之间的决策过程，通过两种方案的比较，可以形成一种深度教学的过程。

2.用有递进的问题链逐步引导学生进行深度学习。

本节课的核心概念是“不等关系”，主问题是“如何用数学刻画不等关系？”即怎样用数学的语言表示不等关系？教学设计要围绕主问题设计“问题链”，以此引导学生开展生活感悟、数学思维活动、合情推理（尝试将列出的不等关系用数学式子表示）、相互讨论、合作交流等活动，进行深度学习，帮助学生建立不等关系的认知结构：

还要通过问题、作业来设计延续“不等”问题的思维情境，让“不等关系”的数学思维不断向后续学习过程延伸。

3.让构建不等关系的过程成为渗透数学思想的过程。

不等关系的学习要能够让学生充分经历“类比”这一重要的推理过程，感受合理推断的探索与发现功能。刻画相等关系的数学模型（等式）与刻画不等关系的数学模型（不等式）将各自对应于一个“集合”，这两类“集合”既不相同，又存在密切联系。在教学过程中，既可以渗透“集合”思想，也可以渗透分类讨论的思想与思维方式。

不等式是刻画不等关系的数学模型，因此，不等式的学习过程是数学建模的学习过程，是使学生感受“模型化”思想与方法的最佳时机。在构建不等关系时，需要先引入字母表示相关的量，因此，这样的过程又是渗透代数思想的过程。

4.让运用不等关系的过程成为体现数学价值的过程。

不等式作为刻画不等关系的数学模型的理论价值与应用价值是什么？这是一个比较深刻的问题，也不是在一节课上就能够充分体现的，但是，不等式作为用数学来思考的工具，它的简单美、化归作用、定量分析作用等数学价值，在这节课的教学中应有所渗透。

（作者系江苏省特级教师、江苏省扬州大学附属中学副校长）