三维空间面积勾股定理及其运用

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摘 要： 二维勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，而三维、四维乃至n维空间勾股定理，是二维勾股定理的延伸和扩展，其运用更具有丰富的时空性和现实性.本文探索三维空间面积勾股定理在高中立体几何中的运用.

关键词： 空间面积勾股定理 射影面积公式 三棱锥体积公式

空间面积勾股定理：如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面积分别为S、S、S，底面面积为S，那么S+S+S=S.

在这个关系式中，蕴藏着丰富的几何元素间的关系，既有明显的三角形面积关系，又隐含着三角形的边、高、角等关系.因此，定理不仅有着广泛的运用，而且结合三棱锥体积公式、射影面积公式、三角形面积公式，能使解题思路自然，简洁明快，表达利落.下面举例说明.

1.求距离问题

例1：已知三棱锥P-ABC的三个侧面互相垂直，它们的三个侧面面积都是2，求P到平面ABC的距离.

解：易知PA、PB、PC两两垂直，设PA=a，PB=b，PC=c，则

ab=4ac=4bc=4?圯（abc）=4×4×4?圯abc=8

V=V=×abc=

由空间勾股定理得S+S，得：S=2.

又设P到平面ABC的距离为h，由三棱锥体积公式得：

×2h=

h=

此法有三巧：求体积，设而不求，妙不可言；求面积，直截了当，干脆利落；求距离，避繁就易，简捷明了.

例2：如图1，在长方体ABCD-ABCD中，AA=a，AB=b，AD=c，求相邻两面内对角线AC与BC1的距离.

解：连AD、DC，则BC∥平面ADC，则点D到平面ACD的距离h即为两异面直线AC与BC的距离.由空间勾股定理得：

S=

又V=V=abc，由三棱锥体积公式得：

h×=abc

故h=

此法妙在：“不割不补，实为割补”.从整体，看部分，智求体积.

2.求角的问题

例3：三棱锥S-ABC的三条棱SA、SB、SC两两垂直，且SA=SB=a，SC=2a，求二面角S-BC-A.

解：设所求二面角S-BC-A为θ，由空间勾股定理得：

S==a，由射影面积公式得：

cosθ===.所求二面角为arccos.

此法优点：求面积快速简捷，过程精练；求角度，化难为易，立竿见影.

例4：如图2，两全等矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，且AB=a，BC=b，求异面直线AC和BF所成的角.

解：以矩形ABCD为底面，矩形ABEF为侧面，作长方体ABCD-FEHG，连CG，则CG∥BF，∠GCA为两异面直线AC与BF所成的角.

由空间勾股定理得：

S=S+S+S

即S=（b）+（ab）+（ab）

S=b，由三角形面积公式得：

AC•CG•sin∠ACG=S，即••sin∠ACG=b，

sin∠ACG=，

故异面直线AC和AF所成的角为arcsin.

此法特点：补全图形，由部分看整体，一目了然.

3.求证几何元素间的关系问题

例5：三棱锥V-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，求征： cosα+cosβ+cosγ=1.

证明：由空间勾股定理可知：S=S+S+S.

又由射影面积公式得：cosα=，cosβ=cosγ=.

cosα+cosβ+cosγ===1.

此法技巧：“死图活看”，巧用射影面积公式.

例6：设三棱锥S-ABC，其侧棱长分别为a、b、c，且三条侧棱两两垂直，由其顶点S到底面的高为，求证：=++.

证明：由空间勾股定理得：S=

又V=abc

由V=V，得•h=abc.

h（ab+ac+bc）=abc，即=++.

此法技巧：“优选底面”，灵活选择底和高.

4.求最值问题

例7：如图3，在平面α内有一个以AB为直径的圆，AB=2a，C为圆周上任意一点，PCα，且PC=a，求C在圆周上哪一位置时，PAB面积最大？

解：设AC=x，则BC=，由空间勾股定理得：

S=（ax）+（a）+（）

=-x+ax+a=-（x-2a）+2a，

当x=2a即x=a时，S最大，也就是当AC=时，（S）=a.

此法优点：利用定理，求表达式，轻而易举.

例8：如图4，过球面上任一点M作互相垂直的三条弦MA、MB、MC，球的半径为R，AB=a，

解：设MB=x，则MA=，又MA+MB=AB，

MC+AB=4R，MA+MB+MC=4R，

即MC=4R-MA-MB=4R-（a-x）-x=4R-a，

由空间勾股定理得：S=S+S+S，

S=（MA•MB）+（MB•MC）+（MA•MC）

=（a-x）x+x（4R-a）+（a-x）（4R-a）

=-x+ax+aR-a

=-（x-a）+aR-a

当x=a即x=a时，S=a.

有趣的是不管M点在小圆上怎样运动，此题蕴含两个定值问题：

（1）MA+MB+MC=4R；（2）MC=4R-a，即C点运动的轨迹是球面上平行于平面MAB的小圆.

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