二轮复习之解析几何突破
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解析几何问题，特别是圆锥曲线问题一直是数学高考中的热点问题，高考数学试卷中的最后两大题中往往有一题是有关圆锥曲线的综合问题，所以它也是高考数学中最具挑战性的问题之一；许多同学觉得解析几何问题“很恐怖”，在考试中遇到这类问题感到“一筹莫展，无从下手”，很难找到解题的突破口；或者虽然有了一个“解题方案”，但在具体操作过程中又遇到这样、那样的困难，很难走到“理想的彼岸”．本文试图通过对几道例题的分析和解答，介绍解决解析几何问题中要注意的问题及一些常用的解题对策，帮助大家消除对解析几何问题的恐惧心理，提高应试能力．
1．串联情况：平面几何是初中的教学内容，是学习立体几何与解析几何的基础，由于平面几何与解析几何的研究对象都是平面图形，因此在解决解析几何问题时了解相关平面图形的几何性质是完美解决问题的前提．
2．考情分析：纵观近几年的各地高考数学试卷，直线与圆锥曲线的位置问题一直是解析几何中的热点问题，尤其是圆锥曲线焦点弦问题，由于容易得到很多漂亮的性质，也容易编拟出具有一定挑战性的试题，所以往往也成了命题者关注的“焦点”．有关直线与圆的有关问题也偶尔“灵光一现”．虽然高考试卷中不可能出现平面几何的试题，但上述两类问题与平面几何知识通常有着天然的联系．
3．破解技巧：（1）对于直线与圆的考题，通常有以下两类解决方法可供选择，其一是用代数方法解之；其二是充分利用相关图形的几何性质解之；其中第一类思想方法比较简单，但往往伴随而来的是繁杂的运算，相对而言第二类方法显得很简捷，但必须有较好的平面几何功底．
（2）对于圆锥曲线中的“触焦问题”（与焦点相关的问题），在选择解题方法时，应优先考虑利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识解之，即明确解决这类问题的最常用的思路是充分利用其几何意义去解决问题．在具体操作中要注意以下两个转化：
（A）注意问题所涉及的曲线（椭圆和双曲线）上的点到曲线的两个焦点的距离之间相互转化．
（B）注意问题所涉及的曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的相互转化．
4．经典例题：
已知圆C1：（x+3）2+y2=4，C2：x2+（y－5）2=4，过平面内的点P有无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与圆C1、圆C2相交，且被圆C1、圆C2截得的弦长相等，求点P的坐标．
破解思路若用代数方法求解，则可设P（a，b），直线l1的斜率为k，则l1，l2被圆C1、圆C2截得的弦长可用a，b，k表示之，由此可得到关于k的恒等式，从而得到关于a，b的两个方程，进而求得a，b的值；大家不妨试一试！
注意到圆C1、圆C2是两个相离的等圆，所以它们关于线段C1C2的中垂线对称，不难猜想，点P在线段C1C2的中垂线上，再由特例法（当直线l1，l2分别过圆心C1，C2时）找到满足条件的点P后再加以证明即可．
经典答案如图1，以线段C1C2为斜边作等腰直角三角形P1C1C2，下面证明点P1符合要求：直线l1，l2分别和直线P1C1，P1C2重合时，显然满足要求；
再把直线P1C1，P1C2绕点P1顺时针旋转θ角时，设直线l1，l2被圆C1、圆C2截得的弦分别为A1B1，A2B2，分别取A1B1，A2B2的中点D1，D2，连结C1D1，C2D2，则RtP1C1D1≌RtP1C2D2，所以C1D1=C2D2，所以A1B1=A2B2．
由于θ的大小可有无穷多种取法，所以点P1符合要求．
由C1（－3，0），C2（0，5）可得点P的坐标为（1，1）或（－4，4）．
已知l1，l2是双曲线－=1的两条渐近线，过椭圆+=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）作直线m，使ml1，m与l2的交点为P，m与已知椭圆的交点记作A与B（如图2）．
求：λ=的最大值及其此时椭圆的离心率e的值．
破解思路要解决本题可分两大步骤来完成，第一步：把λ表示成关于椭圆离心率e的函数（实在不行，可先建立一个关于λ与e的方程）；第二步：求出这个函数最值即得所需结论．解题的关键是如何由已知条件，得到关于λ与e的方程，由于点P恰在椭圆的右准线上，因此可以考虑使用“椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线间的距离间的相互转化”策略，再结合解三角形的知识解决之．
经典答案设直线m的方程为y=（x－c），易求得点P的坐标为P，，所以P恰在椭圆的右准线l上，作BNl于N，AMl于M．
设AF=u，BF=v，则AM=AF=，BN=BF=，所以λ===，所以v=λu，
直角梯形AMNB中，BN－AM=，AB=u+v=（1+λ）u．
因为tan∠ABN=，所以cos∠ABN===•，即=，令2－e2=t，则1
而s==≤=－1，由t=得t=，此时e=，smax=－1，即0
所以λ=的最大值为+1，此时e=．
1．串联情况：方程思想和基本量方法是解决数学问题的重要方法之一，对于解析几何中的一些问题，尤其是有关求圆锥曲线方程的问题，若用方程的思想与基本量方法分析解决之会显得很“自然”．
2．考情分析：由题设条件求圆锥曲线的标准方程是圆锥曲线中最常见的一种题型，近几年的高考圆锥曲线大题一般设置两三个小题，其中的第一小题通常是求曲线的标准方程．
3．破解技巧：易见中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆、双曲线共有两个基本量，即确定这样的椭圆、双曲线只需两个独立的条件．
操作时只需把题设条件“翻译”成关于其中的两个基本量（如：a，b）的方程，然后求所得方程组的解即可．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线有且仅有一个基本量，所以求抛物线的方程的思想方法更加简单．操作时要注意焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况均有可能，当其中的一个已知条件比较直接时，可选使用这个条件求出其中一个系数，以简化运算过程．
4．经典例题：
已知：双曲线的中心在坐标原点，过双曲线右焦点且斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，若OAOB，AB=4，求双曲线的标准方程．
破解思路易见双曲线的焦点在x轴上，所以可设其方程为－=1，只须把条件OAOB，AB=4“翻译”成关于a，b的两个方程，再解关于a，b的方程组即可得到结论．
经典答案设双曲线的方程为－=1，右焦点为F（c，0），其中a，b，c∈R+，c2=a2+b2．设A（x1，y1），B（x2，y2），=t（t>0），直线AB的方程为x=y+c．
由x2－y2=c2，x－y=c2得（1+t）x2－1+y2=x2－2xy+y2，即+－2－t=0．
由于kOA•kOB==－1，所以+－t=0，解得t=3，即b2=3a2，c=2a，故双曲线的方程为3x2－y2=3a2．
把直线AB的方程为x=y+2a代入双曲线方程得4y2+4ay+9a2=0，所以（y－y）2=（y+y）2－4yy=6a2．
又因为AB2=（x－x）2+（y－y）2=（y－y）2=16，所以a2=1，双曲线方程为x2－=1．
反思解决本题的思想方法比较简单，其难点是对运算能力的要求较高，一不小心就会陷入繁杂的运算之中而不能自拔，所以如何简化圆锥曲线问题的运算过程显得尤为重要．上述解法的可取之处如下：其一是把直线AB的方程写成x=y+c有利于简化运算；
其二是构造关于的方程，使kOA•kOB=－1能与之直接“对话”；其三是利用条件OAOB得到b2=3a2，打开了胜利之门．
1．串联情况：函数是中学数学的主线，函数思想是中学数学中最重要的思想方法之一，最值和范围问题是中学数学中的永恒话题，而函数思想是分析解决最值问题最“给力”的武器．
2．考情分析：（1）最值问题和参数的范围问题是解析几何试题中出现相对频繁的题型，通常涉及求面积、线段长、离心率及其他相关参数值的取值范围问题．
（2）对于解几何中定值问题，虽然在现行的教材中没有专门的介绍，但在高考试卷中还是屡见不鲜的．
3．破解技巧：（1）对于解析几何中的最值和范围问题，一般可用建立目标函数方法解决之．若能把所求参数表示成某一个变量的函数，则问题就可化归为求这个函数的最值（或值域）．
（2）解析几何中的定值问题，所涉及的量“照理”应是一个变量，即这个量应随某一个量的变化而变化，若它真的是一个定值，则它“恰巧”与这个量的变化无关；所以我们只须“装腔作势”地把它表示成关于这个变量的函数，化简以后必可得这个函数为常数，从而问题也得到解决．
4．经典例题：
椭圆C过定点M－1，，两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），过点M作倾斜角互补的两条直线MA，MB分别交椭圆于A，B．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求MAB的面积S的最大值．
破解思路（1）注意到A，B两点的坐标都随直线MA的斜率k的变化而变化，故直线AB的斜率“照理”也应该随k变化而变化，所以我们只须“装腔作势”地把直线AB的斜率用k表示之，化简后即可得到定值．
经典答案（1）容易得到椭圆的方程为+y2=1，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为－k，直线MA的方程y－=k（x+1），即y=k（x+1）+，代入椭圆方程可得：［（x+1）－1］2+2k（x+1）?摇+=2，即（x+1）［（1+2k2）•（x+1）?摇+2k－2］=0，所以xA=－1+，y=+，同理可得xB=－1+，y=+．
所以y－y=，xA－xB=，故kAB===－（定值）．
评注（1）本题的证明对运算的要求较高，上述解题过程中充分利用“点M在椭圆上”及“A，B两点的地位相同”等性质，运算过程还是显得比较简洁．
（2）设点M关于y轴的对称点为M1，则当k0时，直线AB与椭圆在点M1处的切线重合．所以在解答前也可以先猜想AB的斜率应等于椭圆在点M1切线的斜率－，这样可使解题的目标更加明确．
破解思路（2）注意到M为定点，所以MAB的面积S随直线AB的变化而变化，由于直线AB斜率为定值，所以可选择直线AB在y轴上（或x轴上）的截距为目标函数的变量解决之．
经典答案（2）由（1）可知直线AB的斜率为－，所以可设直线AB的方程为x=－y+t，作MN∥x轴交线段AB于N，则Nt－1，，MN=t．
把x=－y+t代入x2+2y2=2可得4y2－2ty+t2－2=0，故有y+y=t，y•y=（t2－2），所以（y－y）2=（y+y）2－4yAyB=（4－t2），即y－y=，MAB的面积S=f（t）=MNy－y=t=≤•=，由4－t2=t2得t=±，所以t=±时，MAB的面积S取最大值．
1．串联情况：从表面上看，在有关解析几何的试题中连不等式的“影子”都很难找到；在大千世界中，等是相对的，而不等是绝对的，在解析几何中也是如此，在解决有关解析几何问题时，若能合理地利用不等式往往能给它“致命一击”．
2．考情分析：对于解析几何中的最值问题，除了几何意义法及目标函数法外，目标不等式法也是一种不错的选择．
3．破解技巧：要探求某一参变量的取值范围时，我们只须得到这个参变量应满足的目标不等式，然后解这个目标不等式即可，所谓“退一步海阔天空”就是这个道理！但在具体操作时，其思考方法与目标函数法相同，最后选择目标不等式法还是目标函数法要视具体情况而定．
4．经典例题：
已知M（x0，y0）为直角坐标平面中第一象限内的一个定点，直线l过点M且与坐标轴围成的三角形的面积为定值S0，那么满足条件的直线l有几条？
破解思路由于过点M的直线与坐标轴在第三象限不能围成三角形，而在第二、四象限围成的三角形的面积可以取到任意正实数，且面积的大小与直线构成一一映射；故问题可化归为求与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S0的直线l有多少条，也可化归为求直线l与坐标轴在第一象限内围成的三角形OAB面积的最小值．
注意到SOAB=OAOB，所以直线l的方程的形式选择截距式较为合理．
经典答案如图4，设过点M（x0，y0）的直线l分别交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴的正半轴于点B（0，b），则直线l的方程为+=1，所以1=+≥2，即ab≥4x0y0，所以OAB的面积S=ab≥2x0y0．
由==得a=2x0，b=2y0，所以a=2x0，b=2y0时，S取最小值2x0y0．
由于对于任意给定的正实数S0，当直线l和坐标在第二（第四）象限围成的三角形的面积为S0时，满足条件的直线l有且仅有一条，所以：
（1）0
（2）S0=2x0y0时，满足条件的直线l有且仅有三条．
（3）S0>2x0y0时，满足条件的直线l有且仅有四条．
如图5，梯形ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线的离心率e的取值范围．
破解思路本题是参变量的取值范围问题，易见当λ的值确定后，双曲线的形状也随之确定，即双曲线的离心率e随λ的变化而变化，又注意到≤λ≤，故可选择λ为自变量，把e表示为关于λ的目标函数，然后求出e的取值范围．
经典答案以AB的中垂线为y轴，直线AB为x轴建立直角坐标系，则CDy轴，双曲线过点C，D，且以A，B为焦点．
由双曲线的对称性知C，D关于y轴称，设A（－c，0），B（c，0），由于AB=2CD，故可设C，h．
因为E分的比为λ，设E（x0，y0），则x0==•，y=.设双曲线的方程为－=1，则由C，h在双曲线上，得－=1，即=e2－1．
又E，也在双曲线上，所以e2－•=1，e2－（e2－4）=1，解得λ=1－．
又≤λ≤，所以≤1－≤，解得7≤e2≤10，所以e∈［，］．
反思（1）本题的解题关键是利用“C，D，E三点在双曲线上”等条件建立λ和e的关系式，h和b仅起到“桥”的作用．
（2）在操作过程中发现把λ用e表示反而显得比较简单，所以改用建立关于e的目标不等式的方法解之，这与把问题化归为求目标函数e2=－－2（其中≤λ≤）的值域有异曲同工之妙．
1．串联情况：解析几何的本质就是用代数方法研究几何图形的性质，是数形结合的典范；而平面向量又是数和形之间“天然的桥梁”，所以运用平面向量解决解析几何问题是很自然的选择．
2．考情分析：纵观近几年各地高考数学试卷，平面向量与解析几何的结合体现在以下两个方面，其一是平面向量在试题的叙述中起到“包装”作用，即其中的一些题设条件是以向量的形式给出的（如：例6）；其二是在解答有关与长度、角度有关的解析几何问题过程中合理地运用平面向量这个工具可以优化解题过程．
3．破解技巧：（1）对于利用平面向量仅起到“包装”作用的试题，其对策通常是设法剥去问题的过度“包装”看清问题的本质所在．
（2）在解决有关与长度、角度有关的解析几何问题不要忘记平面向量这个好帮手．
4．经典例题：
设A，B分别为椭圆+=1的左、右顶点，点P是椭圆右准线上且不在x轴上的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内．
破解思路（1）要证明点B在以MN为直径的圆内，只须证明∠MBN为钝角，即证明∠MBP为锐角，也即证明•>0．
（2）由于A，B为定点，且点P在定直线x=4上，所以M，N，P中的任意一点确定，则其他两点随之确定，整个图形也完全确定，因此可以从中选择一个点的坐标为基本变量，然后用这个基本变量表示•．
经典答案（方法一：以点P的坐标为基本变量）由题意可得A（－2，0），B（2，0），右准线的方程为x=4，而P在右准线上，所以可设P（4，λ）．直线PA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程得（x+2）3+?摇（x+2）－12=0，解得xM=－2，yM=．
=－4，，=（2，λ），所以•=－8+=>0，所以∠MBP为锐角，故∠MBN为钝角，所以结论成立．
反思由于点M与点N的地位相同，且都可以看成由点P“生成”，因此选择以点P的坐标为基本变量，显得比较自然．
但纵观上述解法，由点P的坐标表示点M的坐标时，由于不可避免地要求直线与椭圆的交点坐标，因此运算较烦琐且有一定的技巧性．
（方法二：以点M的坐标为基本量）由题意可得A（－2，0），B（2，0），右准线的方程为x=4．
因为点P在椭圆上，所以可设M（2cosθ，sinθ），所以=（2cosθ－2，sinθ）．直线AM的方程为=，令x=4得P4，，所以=2，，所以•=4cosθ－4+=4cosθ－4+9（1－cosθ）=5（1－cosθ）>0，所以∠MBP为锐角，故∠MBN为钝角，所以结论成立．
1．串联情况：众所周知，“从曲线到方程”和“从方程到曲线”是解析几何的两个基本问题，要用代数方法研究曲线的性质，首先要解决的问题是探求曲线的方程，求动点的轨迹方程作为解析几何中的两大基本问题之一，其重要性是不言而喻的．
2．考情分析：对于求曲线的轨迹方程问题的考查，能很好地反映考生逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，因此也是高考数学中有关解析几何问题中命题的热点，也是多数考生公认的难点之一．
3．破解技巧：破解这个问题必须过以下三关：第一关：掌握基本方法关，即掌握求轨迹方程的一些常用方法，并掌握各种方法的适用范围及操作程序．其中常用的方法有：①定义法、②直接法、③转移法、④复数法、⑤参数法、⑥交轨法、⑦斜率法等．
第二关：选择方法操作关，即能根据题目条件，合理地选择解题方法，并进行操作．
第三关：纯粹完备结论关，即注意最后结论的纯粹性和完备性．
4．经典例题：
过点A（0，－2）的直线与抛物线y2=4x相交于P，Q两点，求以OP，OQ为邻边的平行四边形第四个顶点M的轨迹方程．
破解思路由于OPMQ为平行四边形，所以OM的中点和PQ的中点N重合，故可借助于N点求M的轨迹方程，选择斜率法法解之．其操作程序为：设点列式?圯两式相减?圯分解因式?圯出现斜率?圯消去斜率?圯得到方程?圯验证结论．
经典答案设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），则OM的中点为N，．
因为OPMQ是平行四边形，所以N，也是QP的中点，所以x1+x2=x，y1+y2=y.又y=4x1，…（1）?摇y=4x2，…（2）?摇
（2）－（1）得（y+y）（y－y）=4（x2－x1），即（y+y）=4，所以kPQ•y=4．
又A，P，Q，N共线，所以kPQ=kAN=，所以y•=4，即y2+4y=4x．
又N，在抛物线y2=4x的开口内，所以
点M的轨迹方程为：
（y+2）2=4（x+1）（y0）．
反思（1）本题容易忽视轨迹的纯粹性；在用“两式相减”法求动弦中点的轨迹方程时，还需注意动直线与曲线是否一定有交点，上述解法利用“N点必在抛物线的开口内”，巧妙地求出了轨迹的取值范围，简化了运算过程．
（2）用“两式相减”法（斜率法）求动弦的中点轨迹的运算简单且易于操作，但所求问题必需与动弦的斜率相关，否则“英雄”也无用武之地．
1．形成系统知识网络，做好查漏补缺工作．
在数学高考中，出现任何概念性错误都是致命的，对于基本概念和基础知识的掌握不能有半点闪失．在第二轮复习中，对各个知识模块的基本概念及其基础知识最好能再梳理一遍.对于解析几何，由于其研究对象只是一条直线和四条曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），所以复习时可对照高考要求，对各条曲线逐条进行解决，做到既能定性分析，又能定量分析．
平时考试中犯的错误有很大一部分是“习惯性”的错误，在高考中要尽量杜绝这种事情的发生，所以对解析几何的一些易错点要特别引起注意．
2．熟悉典型问题解法，做到以不变应万变．
在高考中的解析几何试题，特别是圆锥曲线的综合问题，虽然可以说是纷繁复杂、千变万化，但往往是以下十类典型问题中的若干个问题的组合．因此对这些典型问题要做到“上有政策，下有对策”，这样才能以不变应万变，力于不败之地．
附：圆锥曲线中的十类典型问题
（1）求圆锥曲线的标准方程．
（2）说明圆锥曲线的几何性质．
（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题．
（4）与圆锥曲线过焦点的弦相关的问题．
（5）与圆锥曲线弦的中点相关的问题．?摇
（6）与圆锥曲线的弦长相关的问题．
（7）圆锥曲线中的最值与取值范围问题．
（8）圆锥曲线中的定值、定位问题．
（9）圆锥曲线中的对称问题．
（10）与圆锥曲线相关的轨迹问题．
3．提高运算熟练程度，做到操作过程不出事故．
圆锥曲线问题之所以成为高考中的难点，其中一个很重要的原因是对运算的要求相对较高，而运算能力差又是许多考生“永远的痛”．对于不可回避的正常运算，要静心演算，且要注意提高熟练程度；平时也要注意解题方法的选择，积累一些简化运算的技能技巧、熟记一些常用的数量关系，也是很有必要的，虽然可能是“非主流”的方法，但有时会很管用．