高中数学解题中的人生智慧解析

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日本教育家米山国藏指出：“学生在中学所学的数学知识在进入社会后，几乎没什么机会应用，因而这种作为知识的数学通常在出校门后不到一两年就忘了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活与工作中发挥着作用。”[1]笔者不禁追问：我们每天都在进行的高中数学解题是怎样在学生今后生活和工作中发挥作用的？数学解题形式演绎的背后又蕴含着怎样的理性之美、闪烁着哪些智慧之光？正如张奠宙、柴俊在《欣赏数学的真善美》中所说的，“数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验和欣赏”[2]。

一、欣赏高中数学解题思想方法的辩证之美——启迪哲理人生

《高中数学课程标准》要求：“通过高中数学教学，努力向学生渗透数学思想方法及辩证唯物主义观点，使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯，并能用普遍联系的观点辩证地看问题，培养他们分析问题的意识。”高中数学解题教学也是实现这一目标的有效途径。

1.转化化归——因势利导、促进矛盾对立面相互转化

高中数学解题中处处体现着转化化归思想：化繁为简、化难为易、化高次为低次、化多元为一元、化未知为已知……“转化化归”是数学解题中最具有代表性、普遍性的思想方法，是数学解题的灵魂。

例1：如何计算不规则土地的面积？

求解方案：计算不规则土地面积计算不规则曲边图形的面积计算曲边梯形的面积无限分割累加求和近似取极限，问题得解。

在这一问题的解决过程中，曲与直、一与多、分与合、动与静、精确与近似、有限与无限、质变与量变、离散与连续、具体与抽象、特殊与一般……这一对对貌似非此即彼、水火不容的矛盾对立面借助“转化化归”这一思想方法和谐统一在一个数学问题解决过程中。事实上，数学题中的矛盾普遍存在，却又对立统一：目标与条件，已知与未知，常值与变量，确定与随机，分析与综合，归纳与演绎，猜想与证明……面对矛盾双方，找准化归的“桥梁”，矛盾自然不攻自破，迎刃而解。

人类社会又何尝不是这样？黑夜与白昼、真理与谬误，正义与邪恶、丑恶与善良……面对普遍存在的矛盾，我们无需忧虑也不要惊慌，要勇于探求不同对立面的最佳契合点，因势利导，促使事物向良性方向发展。我们有理由相信，在一个有组织、有秩序的社会里，各种矛盾对立面可以各得其所、和而不同，正如温总理在哈佛大学的演讲中所说的，“和谐以共生共长，不同则相辅相成”。

2.数形结合——辩证地分析问题，学会灵活变通、双管齐下

华罗庚曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非。”在高中数学解题中，除了化归思想以外，学生使用频率较高的就是数形结合思想，这方面的题例不胜枚举。尤其在解决函数问题、向量问题、复数问题时，如果只从代数角度抠定义、定理，套公式、模式，往往事倍功半，但若从数形结合角度入手，有意识地联系图像，“看图说话”，解法就很简单。类似的，我们在生活中处理问题也要避免僵化、单一，遇事要尝试变换角度，辩证看待一个问题的两个方面，在解决困难时，才能灵活变通、双管齐下。

3.分类讨论——遇事不能搞一刀切，而要区别对待、各个击破

例2：（1）解不等式3ax2+(2a-3)x-2＞0；

（2）已知函数f(x)=x3-3ax-1，求f(x)的单调区间。

求解这两个问题，共同点就在于含有参数，所以答案的形式也要依赖于给定参数的值，因此必须分类讨论，各个击破。通常初学者面对这类问题，总是难以理解：数学不是应当答案确定的吗？为什么还有多种情况？各种情况又是怎么分类呢？其实关键就在于分类标准的确定要满足“不重不漏”。通过这类题目的训练，可以帮助学生理解数学并不都是像初中学习的那样只有一个确定的解。分类讨论能力强的人，就能明白：遇事不能搞一刀切，生搬硬套、一竿子打死都是要不得的。数学中不存在解决所有题目的“万能法宝”，所谓“万能公式”也只能解决一类问题而已，同样，生活中也不存在解决所有难题的“金钥匙”，只能像解决复杂的数学问题一样，学会随机应变、各个击破。

二、欣赏高中数学解题过程的意境之美——感悟智性人生

1.磨刀不误砍柴工

例3：

（1）设f(θ)=，求f()；f(θ）最大值。

（2）求值：（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan45°）＝ 。

面对型（1）的给值求值题，若直接代入求值，繁琐且易错，即使算对了，到求最值时也会因为目标太大，以失败告终。通常参考答案的解法是“先化简，然后再求值”。面对型（2）的求值题，若直接死算，也是繁琐且通常算不出答案的。此类题的通法是“先尝试找规律并证明，再利用结论解题”。此题，就必须先证明结论：若α+β=45°，则（tanα+1）（tanβ+1）=2，再代入原式得结果。

此两例虽然所用知识不同，但解题策略异曲同工，都是“特殊一般特殊”。先准备好解题的“利器”，再动手计算，省时省力又高效，正所谓“磨刀不误砍柴工”。

2.退一步海阔天空

例4：（1）求值：cos20°cos40°cos80°

（2）求函数值域：y=

解：（1）

原式＝＝

（2）原式＝=1+。即化为反比例型，再由图像得解。

这两个例子原表达式工整、简洁，可解题中，我们却不得不打破这种“美”，从方便解题的全局考虑化简为繁，退还为原式本来的面目。以退为进，反守为攻，出其不意。

3.只有强者才能通关

每次问学生哪部分较难拿分，大部分学生会说“圆锥曲线”，似乎这已成为他们心中永远的痛，事实上，这部分内容命题趋势是：“入口浅，重计算”，而学生实际得分率不高的主要原因是：一部分学生不自信，拿到圆锥曲线题，读一遍，心里没底就不假思索，胡乱答题，有人甚至干脆放弃。另有一部分学生，有思路没底气，更重要的是化简技能不到位，以至于越化越繁，走进死胡同。只有一部分“强者”凭借自信、勇气、毅力和扎实的基本功，最终披荆斩棘，顺利通关。

三、欣赏高中数学解题概念与符号的寓意之美——品味数学人生

习题讲评课中活用数学解题中的名词，往往会收到意想不到的效果。

在判断函数f（x）=x+单调性时，常常会有部分学生不指明单调区间。讲评时我们一方面向学生强调单调性是函数的局部性质，一方面乘势鼓励部分后进生：“以时间为横轴，以成绩为纵轴，绘制的f（x）图像有升有降是正常现象，老师希望你不要气馁，争取在日后学习、生活中绘制出属于你自己的单调递增函数。”

“已知f（x）=x3-3ax-a，a≠0，x∈［-3，1］，若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点，求m的取值范围。”在求最值时，有学生不管三七二十一，拿过来就求导，分析出极值，不比较与端点函数值的大小关系就直接当最值来用。在错题讲评时，一方面给学生强调极值与最值的区别与联系，一方面鼓励学生学习要踏踏实实，不断积累，数学薄弱的要争取做某一层次的“极大值”，成绩优秀的不要满足于班级的极大值，力争成为真正的“最大值”。

人生困境如难题，问题棘手不能“一步到位”，那就不妨像解题一样：转化“条件”，变换“目标”，寻找“桥梁”，辩证分析，普遍联系，灵活变通，问题自然解决。人生如题，遇事三思，向学生渗透数学解题中的人生智慧，并使其学以致用，才无愧为真正的智慧数学教育！

参考文献：

[1][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.

[2]张奠宙，柴俊.欣赏数学的真善美[J].中学数学教学参考，2010（1-2）.

（皇甫立同，江苏省淮阴中学，223002）