新鲜出炉之九(全文)

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1. 如图1所示,A,B,C是圆O上的三点,CO与AB的延长线交于圆外一点D. 若=x+y,则

(A) 0

2. 执行如图2所示的程序框图,若输入m=6,则输出i=;若输出i=5,则输入的m的值可能是.

3. 已知{an｝是等差数列,从{a1,a2,…,a20｝中任取3个不同的数,使这3个数仍成等差数列,则这样不同的等差数列最多有

(A) 90个 (B) 120个

【参考答案】

1. 解析: 题目主要考查向量间关系,解题时要充分挖掘共线向量的特征.

设=x+y=t,则=+. A,B,D三点共线, +=1,即x+y=t.由题意可知,与反向且D点在圆外, -1

2. 解析:此题的背景实际上是著名的“冰雹猜想”(见本刊2009年6月号“延长线”栏目). 程序中的循环结构可以用数学语言表示为:a1=m (m为正整数),an+1= (an为偶数),3an+1 (an为奇数).而i则是一个计数变量,用来累计执行循环的次数.

若输入m=6,由程序我们可以得到如下递推式:63105168421,共需执行8次运算,故输出i=8.

若i=5,则问题相当于已知a6=1,求初值m所有可能的取值. 我们可以尝试倒推求解.

a6=1?圯a5=2?圯a4=4?圯a3=8?圯a2=16?圯a1=32a1=5a2=(舍去)a3=1(舍去)a4=(舍去)a5=0(舍去)

由题意可知,数列{an｝的各项均为正整数,所以舍去了0和分数的情况;又因为若a3=1,则运算结束,a6将不可能存在,故a3=1的情况也应舍去, m可取5或32.

3. 解析: 本题主要考查等差数列的概念及计数方法,解题中最关键的是不能忽视数列的有序性.为了能更直观地理解题意,我们可以将题中的数列特殊化:令{a1,a2,…,a20｝为{1,2,…,20｝.

方法一:从1～20中任取3个不同的数构成等差数列,设新的数列的公差为d′,则显然有d′∈[-9,9],且d′≠0.

若d′=1,则不同的数列共有18个:{1,2,3｝,{2,3,4｝,…,{18,19,20｝.同理可知当d′=-1时不同的数列也有18个:{3,2,1｝,{4,3,2｝,…,{20,19,18｝.

若d′=2,则不同的数列共有16个:{1,3,5｝,{2,4,6｝,…,{16,18,20｝.同理可知当d′=-2时不同的数列也有16个.

依次类推,当d′=±3,±4,…,±9 时不同的数列分别有14,12,10,…,2个, 总的不同的等差数列的个数为(18+16+14+…+2)×2=180个.

方法二:若a,b,c成等差数列,则2b=a+c; 2b为偶数, a,c必同为奇数或同为偶数, a,c可从1,3,5,…,19 这十个数或者2,4,6,…,20这十个数中选出两个进行排列,其不同的选择方式有+=180种. 一旦a,c确定,b就唯一确定,由此这个数列也唯一确定. 因而不同的等差数列个数为180个.

新鲜出炉之九

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