四层次反思性教学设想及其实践

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【摘 要】本文结合数学学习心理的CPFS结构理论，提出了数学概念、命题的四 层次反思性教学设想，并在高等数学教学中进行了实践，收到了良好的效果。

【关键词】四层次反思性教学设想 高等数学 实践

怎样提高学生学习数学的质量和效率？一直是困扰数学教学的一大难题。解决这个问题的有效途径是培养学生的数学反思能力。对此，笔者结合高等数学的教学实践进行了探索。

一、数学学习心理的CPFS结构理论简述

CPFS是概念域（concept field）、概念系（concept system）、命题域（Proposition field）、命题系（Proposition system）的英文首写字母。概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构。它是个体头脑中内化的数学知识网络，揭示了概念、命题之间的联系，不仅是数学学习特有的认知结构，而且是优良的数学认知结构。喻平的研究认为：个体的CPFS结构是解决数学问题的知识基础，存在着个别差异，优良的CPFS结构在知识点的数量上更丰富，结构更合理。具有高数学能力的学生必具备优良的CPFS结构，低数学能力的学生具有不良的CPFS结构。[1] CPFS结构的优劣是导致学生数学学习差异的重要原因，培养学生的数学反思能力是形成个体良好的CPFS结构的一个重要而有效的途径。

二、四层次反思性教学设想

根据数学学习心理的CPFS结构理论，学生的数学学习是学生不断自主建构的认知过程，必须有元认知参与，并不断通过元认知的具体表现形式即反思才能完成。学生的反思性学习是否卓有成效，关键是看学生认识和存储的数学知识是否有效，是否形成了良好的CPFS结构。[2]

根据上述理论，笔者提出了概念、命题四层次反思性教学设想（如图1所示）：

图1：概念、命题四层次反思性教学设想

它从问题的提出到新的认知水平的形成，经历了四层次反思过程。从低到高由浅入深，层层深入，揭示了数学概念、命题产生过程的规律，示范了反思的内容、途径和方法。[3]

三、四层次反思性教学设想的实践

概念、命题是数学思维的基础，学生对概念、命题的掌握程度取决于学生对概念、命题的反思程度。实施概念、命题四层次反思性教学设想，有利于强化学生的反思意识，使学生经历丰富的反思体验，积累反思经验，形成良好的思维品质和认知结构，发展学生的数学反思能力。

现以课堂教学案例“导数概念的教学”为例说明具体做法如下：

1、出示问题或背景，引导一层次反思：

出示两个典型问题：（1）怎样求变速直线运动中某一时刻t0的瞬时速度？（2）怎样求曲线在某点x0处的切线的斜率？

师：关于质点运动的速度，我们已经知道了哪些知识？

众生：匀速直线运动的速度公式 。

师：用已有知识能否直接解决新问题？

众生：不能。不是匀速直线运动。

师：观察图2，知道位置函数s（t），能否求出质点在时间 =t- t0上的平均速度？

众生： = 。

师：如果让 无限变小（趋于0）， = 将怎样变化？

生：无限逼近t0处的瞬时速度V0即： 。

同理，如图3所示，同样可给 一个增量 ，在曲线上再取一点，先求出割线的斜率 ，再让 无限变小（趋于0），求出切线的斜率

K= 。

师：瞬时速度和切线斜率表达式有何共同点？

生：具有统一的形式： 当 时的极限。

师：数学是关于模式的科学。上述模式就是一种从不同问题中抽取出来的数学模型，有必要加以定义、研究。

至此，对导数的首次认知已经水到渠成！可以介绍导数的定义及导函数等一系列概念，获得初步感知表象。

2、引导二层次反思，再认知概念或命题：

反思关键术语的含义：

师：为何要求函数 在 的某一实心领域内有定义？

生：有定义， 、 才存在。

师：“ 当 时，极限存在”的含义是什么？切线的斜率不存在时切线是否存在？

生：极限存在的含义是 A且A为一个确定的常数。趋于 时，不能理解为极限存在。此时切线的斜率不存在，但切线存在

且平行于y轴。如图4所示。

师：若极限不存在，会导致什么后果？

生：不可导。但可能：左可导或右可导。

反思符号含义：

师： ； 、 这些符号的含义是什么？它们有何联系与区别？

生： ：函数 在 处的右极限； ：函数 在 处的右导数； ：函数 在 处的左极限； ：函数 在 处的左导数； ：导函数，与 意义相同； ：导函数 在x0处的函数值，与 意义相同。

反思几何意义、物理意义及记忆方法：

师：导数的意义是什么？

生：物理意义：瞬时速度。几何意义：曲线在某点 处的切线的斜率。

（补充：导数还可表示：线密度、化学反应速度、比热容等，可用导数的意义来记忆。）

通过二层次反思，深刻理解概念，获得清晰表象。

3、引导三层次反思，巩固概念：

变式反思概念或命题的多种等价定义或形式：

师：导数定义的两种基本形式是什么？它们的本质是什么？

生： 。本质是函数平均变化率的极限。

（补充：公式的本质是 或 ）

师：如果将 换成h、-h、- 、Ax、……上述公式相应地应怎样变化？

生：

总结：用定义求导数时，一定要通过配方等手段将表达式凑成导数定义的等价形式后再求极限。

反思应用方法：

用定义求导法（三步法）、求切线和法线方程的方法、用物理意义解决实际问题的方法（略）。

反思相近相似概念或命题的联系与区别，反思易混淆的问题：

可导与连续的关系；点可导与区间可导、导函数的关系：

师：比较“可导”与“连续”的定义有何异同？

生：共同点：都要求 在 的实心邻域内有定义， 存在。不同点：连续： ；可导： （A为常数）。

师：由 在 处可导能否推出 在 处连续？

生： 在 处可导，则有： ，由极限的定义有： ， =A ，其中： = ， 为 时的无穷小量。由此可得： 即： 在 处连续。

师：用导数的定义讨论函数y= 在 =0处的连续性与可导性。（如图5）

生： ，左、右导数不相等，函数在 =0处不可导。

师：你从上述讨论中发现了什么结论？

众生：可导必连续，但连续未必可导。

通过三层次反思，实现同化与顺应，将导数概念纳入

到已有知识结构。

4、引导四层次反思：

反思导数定义所体现的数学思想：

师生共同讨论两个问题解决过程的特点：

首先，以匀（速）代变（速）、以割（线）代切（线），化未知为已知，在迂回中解决问题，体现了化归思想。其次，应用无限逼近的方法，体现了极限思想。其三，艺术地将瞬时速度、线密度等诸多实际问题的统一形式 抽象出来，把它在 时的极限定义为函数在某点处的导数，体现了数学的模式化思想。其四，先定义点可导，再用点点可导定义区间可导、导函数，从局部到整体、微观到宏观，体现了高等数学在运动变化中解决问题的辩证思想。[4]

反思导数定义所体现的数学美：

导数作为许多实际问题的统一模式，具有形式的高度统一美；方法、符号的简洁美。区间可导、导函数的概念高度统一在点可导概念下，进而统一在极限概念之下，充分体现了数学概念、知识的和谐统一美。

通过上述四层次反思，示范了反思的内容和方法，使学生在主动反思中自主建构，并从中感悟数学文化，形成良好的CPFS结构。发展了数学反思能力。

实施四层次反思设想的过程中应注意：（1）各步骤可视学生情况灵活调整。（2）教师应设计好问题，尽量引导学生主动反思。

经过一个学期的教学实践，学生进步显著，反馈良好！（统计数据略）

备注：本文根据作者的优秀硕士论文《培养高职高专学生数学反思能力的理论与实践研究》摘录其中部分整理而成。）

参考文献：

[1] 喻平，单 ，数学学习心理的CPFS结构理论[J]，数学教育学报，2003，12（1）：11-15。

[2] 田学红，国内外有关元认知研究的综述[J]，浙江师大学报（社会科学版），2000.2（25）。

[3] 涂荣豹，试论反思性数学学习[J]，数学教育学报，2000.（11）。

[4] 侯风波，《高等数学》[M]，2003年8月，第二版。

作者简介：何守元，丽江师范高等专科学校数计系副教授，教育硕士，主要研究方向：数学教育、高等代数。）