一道向量思考题的思考

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(人教社A版选修2-1第95页思考题2)已知空间中任意一点O和不共线的三点A、B、C满足向量关系式OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)的点P与点A，B，C是否共面?

此题以及其他表述方式都可以总结成在各种资料上出现频率最高的两道题目：

题1 若对任意一点O且OP=xOA+yOB，则x+y=1是P、A、B三点共线的（）．

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不必要也不充分

题2 若对任意一点O和不共线的三点A、B、C且OP=xOA+yOB+zOC，则x+y+1=1是P、A、B、C四点共面的（）．

（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件

（C） 充要条件 （D） 既不必要也不充分

对于题1，可证明如下：若P、A、B三点共线，根据共线定理知：AP=λAB (λ∈R），所以 OP-OA=

一直以来都觉得这个推证过程无懈可击，没有问题，所以就这么讲也这么用的.手头上的很多资料包括一些高三复习资料都有上述题目或类似的表述也是上述类似的结论，有的还当成固定结论要求学生记住.

对这组结论的质疑源于学生提出的两个题组：

对于题3，由平面上三点A，B，C共线的充要条件为OB=a1OA+a200OC当且仅当a1+a200=1，所以 S200=200(a1+a200)2=100，故选（A）.学生提出为什么要加上括号里的注释：该直线不过点O?是不是不加此注释充要条件就不满足了?

对于题4(1)法1：由A，B，C，G四点共面，又CG=1λOA+1λOB+1λOC，所以 3λ=1，λ=3.

图1法2：由图1可知，

法1：仿上述法1，由A，B，C，H四点共面及四点共面的充要条件得：3m=1,m=13.

法2：因为H是两边上的高的交点即为垂心，所以 AH・DC=0，于是 （OH-OA）・（OC-OB

用同样的理论和方法的结果却是不同，问题出在哪呢?从解答的过程我们感觉到题4的两题虽然差不多，所使用的方法也近似，但(2)的法1明显有问题，假设法1的结论对的话，结合4(1)的结论，则成了任意三角形的重心和垂心重合了.

通过上面的对题3，4的分析可以看出，问题出在“任意点O”，其位置并非是“平面上任意一点”或“空间中任意一点”.

对于题1，若选取的“任意点O”在直线AB上，点P也在直线AB上即O，A，B，P四点共线，令e为直线AB的单位方向向量，则OA=ae,OB=be,OP=pe(其中a,b,p∈R)，由OP=xOA+yOB即pe=xae+yce得p=ax+by.这是一个二元一次方程，有无数组解，所以x+y不一定等于1，但P、A、B三点共线，所以若对任意一点O且OP=xOA+yOB，则x+y=1是P、A、B三点共线的充分不必要条件，应选（A）.

若要使得上述题1中的条件为充要条件就应对点O有所限制，改为“任意点O（O不在直线AB上”或“向量OA，OB不共线”等类似的说法.

若要使得上述题2中的条件为充要条件就应对点O有所限制，改为“空间任意一点O（O不在平面ABC上）”或“向量OA,OB,OC不共面”等类似的说法.

前面证明过程的错误也是非常明显了，其都是按点O不在直线AB上或不在平面ABC上处理的，没有考虑点在直线上或在平面上的情形.

上述问题澄清以后，题3，4的问题也变的明确了，题3中加上注释就是为了防止a1+a200≠1的情形发生;题4(1)的证明没有大问题，但其中还是把点O看成是不在平面ABC上处理的，4(2)法1中点O明显在平面ABC内，再用点O在平面外的结论显然错误.

参考文献

曹晶. 对几个例子的辨析. 数学通报，2007（3）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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