多元问题中的主元与次元

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数学中常有涉及多个变元的问题，字母多，又都可变化，不知从何处入手.本文结合实例介绍几种处理方法.

一、突显主元

如果题目中出现了“关于x的方程（不等式）有解”，“对于一切实数m恒成立”等字眼，不妨就以这个字母为主元进行求解.这是最基本的方法.

例1 设函数f（x）=x2+bx-1，若当

x∈[1，2]时，不等式f （x）

解：以x为主元，分离出所求次元（参数）b，那么f （x）

b

[1，2]上有解，因此b只要小于

2-x2x的最大值.

令g（x）=2-x2x=

2x-x，易知g（x）在区间

[1，2]上递减，则g（x）的最大值是

g（1）=2-1=1，所以b的取值范围是（-∞，1）

二、确定主元

对于某些多元问题，可以恰当地确定主元，特别是对多元地位均等的情况，认定其中一元为主元，往往能打开解题途径.

例2 设a，b，c∈[0，2]，求证4a+b2+c2+abc≥

2ab+2bc+2ac.

证明：以a为主元，原不等式等价于

f （a）=（4+bc-2b-2c）a+b2+c2-2bc≥0.

，由条件0≤a≤2，知

f （a）的图象是定义在区间[0，2]上的一条线段.

又由b，c∈[0，2]，可得

f （0）=b2+c2-2bc=（b-c）2≥0，

f （2）=8+2bc-4b-4c+b2+c2-2bc=（b-2）2+（c-2）2≥0，可知

f （a）表示的线段总在横轴及其上方，因此恒有f （a）≥0，从而原不等式得证.

点评：本例也可以b或c为主元构造二次函数型，但证明要复杂一些.

三、逐元求解

面对多个变元，可先将其中一个元看作主元，其余元看作次元，进行处理.减元后再同样处理，对各元逐一突破，使问题获解.

例3 设

a>b>c>0，则

2a2+1ab

+1a（a-b）-10ac+25c2

的最小值是（ ）

（A） 2 （B） 4 （C） 25 （D） 5

分析：依次以c，b，a为主元，变形后入手求解.

解：原式整理成f （c）=（5c-a）2+a2+

1ab+1a（a-b），可见当

c=a5时，f （c）取最小值

a2+1ab

+1a（a-b）=a2+

1（a-b）b.

又记g（b）=a2+1（a-b）b

=1-（b-a2）2+a24+a2，可见当

b=a2时，g（b）取得最小值为

4a2+a2.

再记h（a）=4a2+a2，则由

4a2+a2≥4，当且仅当

4a2=a2，即

a=2时取等号，从而

h（a）的最小值是4

综上，当c=25，b=22，

a=2时，原式取得最小值4，故选（B）.

四、变更主元

以某个变元为主元的多元问题中，从主元入手分析求解比较困难，此时不妨转换思维方向，以某个次元为主元重新思考，往往会获得意想不到的效果.

例4 当1≤m≤2时，解不等式

（log2m-1）log23x-6log2m・log3x+log2m+1>0.

解：若解关于log3x的二次不等式，十分困难.改变视角，整理成关于

log2m的不等式

（log23x-6log3x+1）log2m+1-log23x>0.由题设

1≤m≤2，知

0≤log2m≤1，记

log2m=u，构造相应函数

f （u）=（log23x-6log3x+1）u+1-lg23x（0≤u≤1）.

当0≤u≤1时，f （u）>0恒成立，则有

f （0）>0，

f （1）>0，

即

1-log23x>0，

log23x-6log3x+1+1-log23x>0，

化为

（log3x+1）（log3x-1）

log3x

解之得

13

从而不等式的解为

13

转化是数学解题中最重要的思想方法.面对多元问题，应观察式子的结构特点，参考本文提供的某种方法，回避次要方面，抓住主要矛盾，使问题迎刃而解.